Qual é a distribuição da média arredondada das variáveis ​​aleatórias de Poisson?

Se eu tiver variáveis ​​aleatórias distribuídas por Poisson com os parâmetros , qual é a distribuição de (ou seja, o piso inteiro da média)?$X_1,X_2,\ldots,X_n$$\lambda_1, \lambda_2,\ldots, \lambda_n$$Y=\left\lfloor\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}\right\rfloor$

Uma soma de Poissons também é Poisson, mas não tenho confiança suficiente em estatísticas para determinar se é o mesmo para o caso acima.

Uma generalização da questão pede a distribuição de quando a distribuição de X é conhecida e suportada nos números naturais. (Na questão, X tem uma distribuição de Poisson do parâmetro λ = λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ n e m = n .)$Y = \lfloor X/m \rfloor$$X$$X$$\lambda = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n$$m=n$

A distribuição de é facilmente determinada pela distribuição de m Y , cuja probabilidade de geração de função (PGF) pode ser determinada em termos da PGF de X . Aqui está um resumo da derivação.$Y$$mY$$X$

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Escreva para o pgf de X , onde (por definição) p n = Pr ( X = n ) . é construído a partir de forma que seu pgf, , seja$p(x) = p_0 + p_1 x + \cdots + p_n x^n + \cdots$$X$$p_n = \Pr(X=n)$X $mY$$X$$q$

$$\eqalign{q(x) &=& \left(p_0 + p_1 + \cdots + p_{m-1}\right) + \left(p_m + p_{m+1} + \cdots + p_{2m-1}\right)x^m + \cdots + \\&&\left(p_{nm} + p_{nm+1} + \cdots + p_{(n+1)m-1}\right)x^{nm} + \cdots.}$$

Porque isso converge absolutamente para , podemos reorganizar os termos em uma soma de partes do formulário$|x| \le 1$

$$D_{m,t}p(x) = p_t + p_{t+m}x^m + \cdots + p_{t + nm}x^{nm} + \cdots$$

para . A série de potências das funções consiste em todos os termos da série de começando com : isso às vezes é chamado de dizimação de . Atualmente, as pesquisas do Google não apresentam muitas informações úteis sobre dizimações. Portanto, para ser completo, aqui está uma derivação de uma fórmula.x t D m , t p m th p t th$t=0, 1, \ldots, m-1$$x^t D_{m,t}p$$m^\text{th}$$p$$t^\text{th}$$p$

Vamos ser qualquer primitiva raiz da unidade; por exemplo, considere . Segue-se de e quem th ω = exp ( 2 i π / m ) ω m = 1 ∑ m - 1 j = 0 ω j = $\omega$$m^\text{th}$$\omega = \exp(2 i \pi / m)$$\omega^m=1$$\sum_{j=0}^{m-1}\omega^j = 0$

$$x^t D_{m,t}p(x) = \frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1} \omega^{t j} p(x/\omega^j).$$

Para ver isso, observe que o operador é linear, portanto basta verificar a fórmula com base . A aplicação do lado direito a fornece { 1 , x , x 2 , … , x n , … } x $x^t D_{m,t}$$\{1, x, x^2, \ldots, x^n, \ldots \}$$x^n$

$$x^t D_{m,t}[x^n] = \frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1} \omega^{t j} x^n \omega^{-nj}= \frac{x^n}{m}\sum_{j=0}^{m-1} \omega^{(t-n) j.}$$

Quando e diferem por um múltiplo de , cada termo na soma é igual a e obtemos . Caso contrário, os termos alternam entre potências de e somam zero. Onde este operador preserva todas as potências de congruente com modulo e mata todos os outros: é precisamente a projecção desejada.n m 1 x n ω t - n x t $t$$n$$m$$1$$x^n$$\omega^{t-n}$$x$$t$$m$

Uma fórmula para segue prontamente, alterando a ordem da soma e reconhecendo uma das somas como geométrica, escrevendo-a de forma fechada:$q$

$$\eqalign{ q(x) &= \sum_{t=0}^{m-1} (D_{m,t}[p])(x) \\ &= \sum_{t=0}^{m-1} x^{-t} \frac{1}{m} \sum_{j=0}^{m-1} \omega^{t j} p(\omega^{-j}x ) \\ &= \frac{1}{m} \sum_{j=0}^{m-1} p(\omega^{-j}x) \sum_{t=0}^{m-1} \left(\omega^j/x\right)^t \\ &= \frac{x(1-x^{-m})}{m} \sum_{j=0}^{m-1} \frac{p(\omega^{-j}x)}{x-\omega^j}. }$$

Por exemplo, o pgf de uma distribuição Poisson do parâmetro é . Com , e o pgf de seráp ( x ) = exp ( λ ( x - 1 ) ) m = 2 ω = - 1 2 $\lambda$$p(x) = \exp(\lambda(x-1))$$m=2$$\omega=-1$$2Y$

$$\eqalign{ q(x) &= \frac{x(1-x^{-2})}{2} \sum_{j=0}^{2-1} \frac{p((-1)^{-j}x)}{x-(-1)^j} \\ &= \frac{x-1/x}{2} \left(\frac{\exp(\lambda(x-1))}{x-1} + \frac{\exp(\lambda(-x-1))}{x+1}\right) \\ &= \exp(-\lambda) \left(\frac{\sinh (\lambda x)}{x}+\cosh (\lambda x)\right). }$$

Um uso dessa abordagem é calcular momentos de e . O valor da derivada do pgf avaliado em é o momento fatorial . O momento é uma combinação linear dos primeiros momentos fatoriais. Usando essas observações, descobrimos, por exemplo, que para um Poisson distribuído , sua média (que é o primeiro momento fatorial) é igual a , a média de é igual a , e a média de é igual am Y k th x = 1 k th k th k X λ 2 ⌊ ( X / 2 ) ⌋ λ - $X$$mY$$k^\text{th}$$x=1$$k^\text{th}$$k^\text{th}$$k$$X$$\lambda$$2\lfloor(X/2)\rfloor$3⌊(X/3)⌋λ-1+e-3λ/2(sin ( $\lambda- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{-2\lambda}$$3\lfloor(X/3)\rfloor$$\lambda -1+e^{-3 \lambda /2} \left(\frac{\sin \left(\frac{\sqrt{3} \lambda }{2}\right)}{\sqrt{3}}+\cos \left(\frac{\sqrt{3} \lambda}{2}\right)\right)$ :

As médias para são mostradas em azul, vermelho e amarelo, respectivamente, como funções de : assintoticamente, a média cai comparação com a média original de Poisson.λ ( m - 1 ) /$m=1,2,3$$\lambda$$(m-1)/2$

Fórmulas semelhantes para as variações podem ser obtidas. (Eles ficar confuso como sobe e assim são omitidos Uma coisa que definitivamente estabelecer é que quando. não múltiplo de é Poisson: ele não tem a igualdade característica da média e variância) Aqui é um gráfico das variações em função de para :m > 1 Y λ m = 1 , 2 , $m$$m \gt 1$$Y$$\lambda$$m=1,2,3$

É interessante que, para valores maiores de as variações aumentem . Intuitivamente, isso se deve a dois fenômenos concorrentes: a função de piso está efetivamente impedindo grupos de valores que originalmente eram distintos; isso deve fazer com que a variação diminua. Ao mesmo tempo, como vimos, os meios também estão mudando (porque cada compartimento é representado por seu menor valor); isso deve fazer com que um termo igual ao quadrado da diferença de médias seja adicionado novamente. O aumento da variância para grande torna-se maior com valores maiores de .λ $\lambda$$\lambda$$m$

O comportamento da variância de com é surpreendentemente complexo. Vamos terminar com uma rápida simulação (in ) mostrando o que ele pode fazer. Os gráficos mostram a diferença entre a variância de e a variância de para Poisson distribuído com vários valores de variando de a . Em todos os casos, as parcelas parecem ter atingido seus valores assintóticos à direita.m m ⌊ X / m ⌋ X X λ 1 $mY$$m$R$m\lfloor X/m \rfloor$$X$$X$$\lambda$$1$$5000$

set.seed(17)
par(mfrow=c(3,4))
temp <- sapply(c(1,2,5,10,20,50,100,200,500,1000,2000,5000), function(lambda) {
  x <- rpois(20000, lambda)
  v <- sapply(1:floor(lambda + 4*sqrt(lambda)), 
              function(m) var(floor(x/m)*m) - var(x))
  plot(v, type="l", xlab="", ylab="Increased variance", 
       main=toString(lambda), cex.main=.85, col="Blue", lwd=2)
})

Como Michael Chernick diz, se as variáveis ​​aleatórias individuais forem independentes, a soma será Poisson com o parâmetro (média e variância) que você pode chamar de .$\sum_{i=1}^{n} \lambda_i$$\lambda$

Dividir por reduz a média para variância portanto a variação será menor que a distribuição equivalente de Poisson. Como Michael diz, nem todos os valores serão inteiros.λ / n λ / n $n$$\lambda / n$$\lambda / n^2$

O uso da função floor reduz ligeiramente a média em cerca de e afeta a variação um pouco demais, embora de uma maneira mais complicada. Embora você tenha valores inteiros, a variação ainda será substancialmente menor que a média e, portanto, você terá uma distribuição mais estreita que o Poisson.$\frac12 -\frac{1}{2n}$

A função de massa probabilística da média de variáveis ​​aleatórias independentes de Poisson pode ser anotada explicitamente, embora a resposta possa não ajudá-lo muito. Como Michael Chernick observou nos comentários de sua própria resposta, a soma das variáveis ​​aleatórias independentes de Poisson com os respectivos parâmetros é uma variável aleatória de Poisson com o parâmetro . Portanto, Assim, é uma variável aleatória que assume o valor com probabilidade∑ i X i X i λ i λ = ∑ i λ i P { n ∑ i = 1 X i = k } = exp ( - λ ) λ $n$ $\sum_i X_i$$X_i$$\lambda_i$$\lambda = \sum_i \lambda_i$

$$P\left\{ \sum_{i=1}^n X_i= k\right\} = \exp(-\lambda)\frac{\lambda^k}{k!}, ~~ k = 0, 1, 2, \ldots,$$ $\hat{Y} = n^{-1} \sum_{i=1}^n X_i$$k/n$$\exp(-\lambda)\frac{\lambda^k}{k!}$ . Observe que não é uma variável aleatória com valor inteiro (embora assuma valores racionais com espaçamento uniforme). Segue-se facilmente que é uma variável aleatória com valor inteiro assumindo o valor com probabilidade isto não é$\hat{Y}$$Y = \lfloor \hat{Y} \rfloor$$m$λ $$P\{Y = m\} = P\left\{\left\lfloor \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \right\rfloor = m\right\} = \exp(-\lambda)\sum_{i=0}^{n-1}\frac{\lambda^{mn+i}}{(mn+i)!}, ~~ m = 0, 1, 2, \ldots,$$ a função de massa de probabilidade de uma variável aleatória de Poisson. Fórmulas para a variância média e pode ser escrita usando esta função massa de probabilidade, mas eles não, obviamente, levar a bom simples respostas em termos de e . Valores aproximados podem ser obtidos conforme apontado por Henry.$\lambda$$n$

Y não será Poisson. Observe que as variáveis ​​aleatórias Poisson assumem valores inteiros não negativos. Depois de dividir por uma constante, você cria uma variável aleatória que pode ter valores não inteiros. Ainda terá a forma do Poisson. Apenas as probabilidades discretas podem ocorrer em pontos não inteiros.