"Como

Pergunta curta: por que isso é verdade?

Pergunta longa:

Muito simplesmente, estou tentando descobrir o que justifica essa primeira equação. O autor do livro que estou lendo (contexto aqui, se você quiser, mas não é necessário), afirma o seguinte:

Devido à suposição de quase gaussianidade, podemos escrever:

$$p_0(\xi) = A \; \phi(\xi) \; exp( a_{n+1}\xi + (a_{n+2} + \frac{1}{2})\xi^2 + \sum_{i=1}^{n} a_i G_i(\xi))$$

Onde é o PDF dos dados observados com entropia máxima, considerando que você apenas observou uma série de expectativas (números simples) c i , i = 1 . . . n , onde c i = E { G i ( ξ ) } e ϕ ( ξ ) é o PDF de uma variável gaussiana padronizada, ou seja, 0 média e variação de unidade.$p_0(\xi)$$c_i, i = 1 ... n$$c_i = \mathbb{E}\{G_i(\xi)\}$$\phi(\xi)$

Onde tudo isso está acontecendo é que ele usa a equação acima como ponto de partida para tornar o PDF, mais simples, e entendo como ele faz isso, mas não entendo como ele justifica a equação acima, ou seja, O ponto de partida.$p_0(\xi)$

Tentei ser breve para não ofuscar ninguém, mas se você quiser mais detalhes, entre em contato nos comentários. Obrigado!

(Nota: alterei sua para x .)$\xi$$x$

Para uma variável aleatória com densidade p , se você tiver restrições ∫ G i ( x $X$$p$ para i = 1 , … , n , a densidade máxima de entropia é p 0 ( x ) = A exp ( n

$$\int G_i(x)\,p(x)\,dx=c_i \, ,$$ $i=1,\dots,n$ onde o $$p_0(x)=A\exp\left(\sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, ,$$ 's são determinadas a partir do c i ' s, e A é uma constante de normalização.$a_i$$c_i$$A$

Nesse contexto, a aproximação gaussiana ("quase gaussianity") significa duas coisas:

1) Você aceita introduzir duas novas restrições: a média de é 0 e a variação é 1 (digamos);$X$$0$$1$

2) O correspondente (ver abaixo) é muito maior do que o outro um i 's.$a_{n+2}$$a_i$

Essas restrições adicionais são representadas como

$$G_{n+1}(x)=x \, , \qquad c_{n+1}=0 \, ,$$ produzindo p 0 ( x ) = A exp ( a n + 2 x 2 + a n + 1 x + n ∑ $$G_{n+2}(x)=x^2 \, , \qquad c_{n+2}=1 \, ,$$ que pode ser reescrito como (apenas "adicione zero" ao expoente) p 0 ( $$p_0(x)=A\exp\left(a_{n+2}x^2 + a_{n+1}x + \sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, ,$$ levando ao que você deseja: $$p_0(x)=A\exp\left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{2} + a_{n+2}x^2 + a_{n+1}x + \sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, ,$$ pronto para ser Taylor expandido (usando a segunda condição da aproximação gaussiana). $$p_0(x)=A'\,\phi(x)\exp\left(a_{n+1}x + \left(a_{n+2}+\frac{1}{2}\right)x^2 + \sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, ;$$

Fazendo a aproximação como um físico (o que significa que não nos importamos com a ordem do termo de erro), usando , temos a densidade aproximada p $\exp(t)\approx 1+t$

$$p_0(x) \approx A'\,\phi(x)\left(1+a_{n+1}x + \left(a_{n+2}+\frac{1}{2}\right)x^2 + \sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, .$$ $A'$$a_i$ $$\int p_0(x)\,dx=1 \, , \qquad \int x \,p_0(x)\,dx=0 \, , \qquad \int x^2 \,p_0(x)\,dx=1$$ $$\int G_i(x)\, p_0(x)\,dx=c_i \, , \quad i=1,\dots,n \, ,$$ $A'$$a_i$

Sem impor condições adicionais ao $G_i$

$G_i$ é que podemos resolver o sistema.