Versão curta
Estou tentando resolver / aproximar analiticamente a probabilidade composta que resulta de desenhos independentes de Poisson e de amostras adicionais com ou sem substituição (eu realmente não me importo com qual). Quero usar a probabilidade com o MCMC (Stan), portanto, preciso da solução apenas até um termo constante. Em última análise, quero modelar um processo em que os desenhos iniciais sejam negativos. distribuição binomial, mas acho que vou conseguir chegar lá com uma solução para o caso Poisson.
É bem possível que a solução não seja viável (não entendo a matemática o suficiente para saber se esse é um problema simples ou muito difícil). Assim, também estou interessado em aproximações, resultados negativos ou intuição por que o problema é provavelmente intratável (por exemplo, comparando com um problema difícil conhecido). Links para artigos / teoremas / truques úteis que me ajudarão a seguir em frente são boas respostas, mesmo que sua conexão com o problema em questão não esteja totalmente resolvida.
Declaração formal
Mais formalmente, primeiro é desenhado independentemente e, em seguida, eu amostro itens aleatoriamente de todo para obter . Ou seja, eu desenho bolas coloridas de uma urna onde a quantidade de bolas de cor é extraída de . Aqui, é assumido conhecido e corrigido e condicionamos em . Tecnicamente, a amostragem é feita sem substituição, mas presumir que a amostragem com substituição não deve ser um grande problema.
Eu tentei duas abordagens para resolver a amostragem sem substituição (como esse parecia ser o caso mais fácil devido a alguns termos cancelados), mas fiquei com as duas. A probabilidade de amostragem sem substituição é:
EDIT: A seção "tentativas de soluções foi removida porque a solução na resposta não se baseia nelas (e é muito melhor)