Fiz essa pergunta em uma entrevista e inicialmente não respondi corretamente, apesar de ainda achar que minha interpretação pode ter sido a correta. A questão era:
Existem dois caminhões de entrega, A e B. A faz entregas entre 8h e 10h, e B faz entregas entre 9h e 11h. As entregas são distribuídas uniformemente para ambos. Qual é a probabilidade de que qualquer entrega de B ocorra antes de qualquer entrega de A?
Qual é a sua resposta e por quê?
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Como as taxas de entrega não estão especificadas, vamos assumir que A entregauma pacotes por hora e B entrega b pacotes por hora. Então existem2 uma ⋅ 2 b pares de prazos de entrega. A janela em que A e B se sobrepõem nos tempos de entrega apenasa ⋅ b pares, na metade dos quais A vem antes de B. Portanto, a proporção de pares nos quais A vem antes de B é
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Proponho outra maneira de ver, apenas se você tiver um computador durante a entrevista, é claro.
Podemos simular o processo com
R
, por exemplo.Vamos simular 1000 valores de A e o mesmo de B, sabemos que ambos são uniformes, são independentes.
Ok, não são exatamente horas, mas é a mesma coisa.
A probabilidadeP( B < A ) é o que buscamos. Então, contamos apenas o número de pares em queb < a no nosso código.
Também podemos traçar os 1000 pares( a , b ) e veja a região em que B vem primeiro.
E o
prob
valor acima é a proporção de pontos na região sombreada (parece familiar, não é?).Agora, poderíamos usar a fórmula para o erro padrão de uma proporção para estimar o erro padrão da simulação.
E podemos construir um IC (assumindo uma aproximação normal da distribuição da amostra de
probs
).fonte
Tropecei e isso entrou na minha cabeça. :-)
A resposta parece que deve depender do número relativo de entregas que cada caminhão faz na hora da possível sobreposição (9a-10a) - não há resposta constante.
Por exemplo, suponha que cada caminhão faça 2 entregas totais (1 por hora). Cada um deles faria 1 entrega entre 9 e 10 e B não superaria nada de A. Portanto, a probabilidade é 0 nesse caso.
Considere uma versão simplificada do problema em que ambos fazem entregas entre 9 e 10a (ainda uma distribuição uniforme). E, para iniciantes, suponha que eles façam o mesmo número de entregas, n.
Colocando cada um desses termos em uma soma, obtemos:
Ou,
Como as probabilidades são uniformes e metade (arredondada para baixo) de cada ocorre durante a hora da sobreposição, consideramos apenas metade das entregas de cada uma. E sen′= ⌊n2⌋ e, comparados a todo o domínio, esses eventos acontecem apenas metade do tempo. assim
Eu acredito que paraa = b = n você obtém 1 / 8 .
Como lidar com o fato de que A e B não entregam o mesmo número de pacotes? Mais uma vez, para simplificar, assuma que todas as entregas acontecem entre 9 e 10 horas.
Para cada entregab você considera do mais antigo ao mais recente, em vez de cada um sucessivo 1 1uma menos do caminhão A, como acima (onde uma é o número de entregas efetuadas pelo caminhão A e b o número de entregas feitas por b ), você elimina ⌊1 1b⋅ a ⌋ . Ou seja, você vence tudo, exceto uma fração deuma proporcional à fração de b você jogou fora. Assim,
Ou,
Mais uma vez, considerando o fato de que eles se sobrepõem apenas metade do tempo, vamosuma′=uma2 e b′=b2 :
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É zero:
se o caminhão B tiver pelo menos uma entrega no período de [9-11], pelo menos uma entrega será feita após (ou igual a) 10
e essa entrega não ocorre antes das entregas de A (que são todas antes das 10)
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