Exemplo de uma distribuição discreta não negativa em que a média (ou outro momento) não existe?

Eu estava trabalhando com scipy e surgiu uma conversa com um membro do grupo principal sobre se uma variável aleatória discreta não negativa pode ter um momento indefinido. Eu acho que ele está correto, mas não tem uma prova à mão. Alguém pode mostrar / provar esta reivindicação? (ou se essa afirmação não for verdadeira, refutar)

Eu não tenho um exemplo útil se a variável aleatória discreta tem suporte em mas parece que alguma versão discreta da distribuição Cauchy deve servir como exemplo para obter um momento indefinido. A condição de não negatividade (talvez incluindo ) é o que parece tornar o problema desafiador (pelo menos para mim).$\mathbb{Z}$$0$

Deixe o CDF igual a nos números inteiros constante por partes em todos os outros lugares e sujeito a todos os critérios para ser um CDF. A expectativa é$F$$1-1/n$$n=1,2,\ldots,$

$$\int_{0}^\infty (1-F(x))\mathrm{d}x = 1/2 + 1/3 + 1/4 + \cdots$$

que diverge. Nesse sentido, o primeiro momento (e, portanto, todos os momentos superiores) é infinito. (Ver observações no final para mais elaboração.)

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Se você não se sentir à vontade com essa notação, observe que para$n=1,2,3,\ldots,$

$${\Pr}_{F}(n) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1.}$$

Isso define uma distribuição de probabilidade, pois cada termo é positivo e

$$\sum_{n=1}^\infty {\Pr}_{F}(n) = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = \lim_{n\to \infty} 1 - \frac{1}{n+1} = 1.$$

A expectativa é

$$\sum_{n=1}^\infty n\,{\Pr}_{F}(n) = \sum_{n=1}^\infty n\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1} = 1/2 + 1/3 + 1/4 + \cdots$$

que diverge.

Essa maneira de expressar a resposta deixa claro que todas as soluções são obtidas por essas séries divergentes. De fato, se você deseja que a distribuição seja suportada em algum subconjunto dos valores positivos com probabilidades somam à unidade, a expectativa é divergir da série que o expressa, a saber$x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots,$$p_1, p_2, \ldots$

$$(a_n) = (x_n p_n),$$

deve ter somas parciais divergentes.

Por outro lado, todas as séries divergentes de números não negativos estão associadas a muitas distribuições positivas discretas com expectativas divergentes. $(a_n)$ ( a n ) ( x n ) ( p n ) q n = 2 - n y n = 2 n a n n = 1 , 2 , … . Ω y n Ω = { ω 1 , ω 2 , … , ω i , … } , Ω Por exemplo, dado você pode aplicar o seguinte algoritmo para determinar as seqüências e . Comece definindo e para Defina como o conjunto de todos os que aparecerem dessa maneira, indexe seus elementos como e defina uma distribuição de probabilidade em de$(a_n)$$(x_n)$$(p_n)$$q_n = 2^{-n}$$y_n = 2^n a_n$$n=1, 2, \ldots.$$\Omega$$y_n$$\Omega=\{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_i, \ldots\},$$\Omega$

$$\Pr(\omega_i) = \sum_{n \mid y_n = \omega_i}q_n.$$

Isso funciona porque a soma do é igual à soma do que é e tem no máximo um número contável de elementos positivos.$p_n$$q_n,$$1,$$\Omega$

Como exemplo, a série obviamente diverge. O algoritmo fornece$(a_n) = (1, 1/2, 1, 1/2, \ldots)$

$$y_1 = 2a_1 = 2;\ y_2 = 2^2 a_2 = 2;\ y_3 = 2^3 a_3 = 8; \ldots$$

Assim,

$$\Omega = \{2, 8, 32, 128, \ldots, 2^{2n+1},\ldots\}$$

é o conjunto de potências positivos ímpares de e$2$

$$p_1 = q_1 + q_2 = 3/4;\ p_2 = q_3 + q_4 = 3/16;\ p_3 = q_5 + q_6 = 3/64; \ldots$$

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Sobre momentos infinitos e inexistentes

Quando todos os valores são positivos, não existe um momento "indefinido": todos os momentos existem, mas podem ser infinitos no sentido de uma soma divergente (ou integral), como mostrado no início desta resposta.

Geralmente, todos os momentos são definidos para variáveis ​​aleatórias positivas, porque a soma ou integral que as expressa converge absolutamente ou diverge (é "infinito".) Em contraste com isso, os momentos podem se tornar indefinidos para variáveis ​​que assumem valores positivos e negativos , porque - por definição da integral de Lebesgue - o momento é a diferença entre um momento da parte positiva e um momento do valor absoluto da parte negativa. Se ambos são infinitos, a convergência não é absoluta e você enfrenta o problema de subtrair um infinito de um infinito: isso não existe.

Aqui está um exemplo famoso: Seja valor com probabilidade , para cada número inteiro . Então recebe valores em (um subconjunto) de números inteiros positivos; a massa total é , mas sua expectativa é Essa variável aleatória surge no paradoxo de São Petersburgo .$X$$2^k$$2^{-k}$$k\ge1$$X$$\sum_{k=1}^\infty 2^{-k}=1$

$$E(X) = \sum_{k=1}^\infty 2^k P(X=2^k) = \sum_{k=1}^\infty 1 = \infty.$$ $X$

1. A distribuição zeta é uma distribuição discreta bastante conhecida nos números inteiros positivos que não possui média finita (para ).$1<\theta\leq 2$

   $P(X=x|\theta)={{\frac {1}{\zeta (\theta)}}x^{-\theta}}\,,\: x=1,2,...,\:\theta>1$

   onde a constante de normalização envolve , a função zie de Riemann$\zeta(\cdot)$

   (editar: o caso é muito semelhante à resposta do whuber)$\theta=2$

   Outra distribuição com comportamento de cauda semelhante é a distribuição de Yule-Simon .

2. Outro exemplo seria a distribuição binomial beta-negativa com :$0<\alpha\leq 1$

   $P(X=x|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+x)}{x!\;\Gamma (r)}}{\frac {\mathrm{B} (\alpha +r,\beta +x)}{\mathrm{B} (\alpha ,\beta )}}\,,\:x=0,1,2...\:\alpha,\beta,r > 0$

alguma versão discreta da distribuição Cauchy

Sim, se você considerar como o valor médio da distribuição de Cauchy no intervalo em torno de , então claramente seu momento zero é o mesmo da distribuição de Cauchy e seu primeiro momento se aproxima assintoticamente do primeiro momento da distribuição. Distribuição Cauchy. Quanto ao "intervalo em torno de ", não importa realmente como você define isso; take , , , vel cetera , e funcionará. Para números inteiros positivos, você também pode . O momento zero soma-se a um, e o primeiro momento é a soma de , que diverge.$p(n)$$n$$n$$(n-1,n]$$[n,n+1)$$[n-.5,n+.5)$$p(n) =\frac6{(n\pi)^2}$$\frac6{n\pi^2}$

E, de fato, para qualquer polinômio , há alguns tais que iguais a 1. Se tomarmos o ésimo momento, em que é a ordem de , isso irá divergir.c $p(n)$$c$ kkp(n$\frac c {p(n)}$$k$$k$$p(n)$