Distribuição normal padrão em um subespaço

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Seja um espaço vetorial com . Uma distribuição normal padrão em é a lei de um vetor aleatório assumindo valores em e de modo que as coordenadas de em uma ( em qualquer) base ortonormal de sejam um vetor aleatório feita de distribuições normais padrão independentes .URndim(U)=dUX=(X1,,Xn)UXUdN(0,1)

Ao ler esta pergunta, me fiz a seguinte pergunta. Seja uma distribuição normal padrão em . É verdade que a distribuição condicional de dado é a distribuição normal padrão em ?Y=(Y1,,Yn)RnYYUU

A norma ao quadrado de X tem uma distribuição qui-quadrado \ chi ^ 2_d . Portanto, se isso for verdade, isso explicaria a afirmação de @ Argha.X2Xχd2

Desculpe se o LaTeX está digitado incorretamente, não vejo a renderização do LaTeX :(

EDIT 01/10/2012: Ok, entendo. Escreva y=u+v decomposição ortogonal de y em UU . Então

Pr(YdyYU)=Pr(PUYdu)
. Isso mostra que (YYU)PUY . Isso é um pouco heurístico, mas moralmente correto. Finalmente, é claro a partir da definição que PUY é normal padrão em U .
Stéphane Laurent
fonte
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Isso não é terrivelmente óbvio quando você observa que uma base ortonormal para sempre pode ser construída estendendo qualquer base ortonormal para ? (Uma prova: use o Gram-Schmidt em qualquer extensão, seja ele ortodoxo ou não.) Nesta base, o PDF é separável e, por sorte, é o padrão normal em , QED. RnUU
whuber
@whuber Por favor, você poderia elaborar uma resposta? Como você obtém a distribuição condicional?
Stéphane Laurent
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Você apenas olha ! Quando um absolutamente contínua PDF factores como , então (a) e são independentes e (b) e são as distribuições condicionais . f(x,y)fx(x)fy(y)XYfxfy
whuber
@whuber Estou voltando do trabalho. Vou pensar sobre isso mais tarde. Obrigado. Claro que acredito que isso é óbvio, mas estou cansado.
Stéphane Laurent

Respostas:

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Sim. Você tem que é um subespaço de . Seja e a matriz de projeção ortogonal em , de modo que seja simétrico e idempotente. Então . Esta é uma distribuição normal singular, que no subespaço é o normal padrão nesse subespaço. Como uma distribuição singular, ele não tem uma densidade em relação a medida de volume em , mas ele tem uma densidade no que diz respeito ao (inferior-dim) medida de volume na .URnYN(0,I)PUPPYN(P0,PIPT)=N(0,P)URnU

kjetil b halvorsen
fonte
Não vejo onde você prova que tem a mesma lei que condicional a ? PYYYU
Stéphane Laurent
Observe que, abstratamente, a probabilidade condicional (realmente expectativa, de obter um espaço linear ...) é uma projeção! Assim condicionado em , quando é um subespaço linear, é o mesmo que se projecta em . YUUU
Kjetil b halvorsen
Desculpe, mas sua reivindicação não faz sentido.
Stéphane Laurent
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Essa é a intuição, uma prova talvez deva ser diferente. Eu estou fora de tempo, mas nota que a distribuição normal multivariada pode ser especificada através da especificação de distribuição (normal) de todas as combinações lineares dos componentes de . Quando a matriz de covariância é a projecção , escolher como uma base ortonormal de . pode ser escrita . Escolha como coeficiente para a combinação linear de , você verá que a variação é uma. Escolha para o coeficiente um vetor de comprimento um ortogonal a , você verá que a variação é zero. YPu1,,ukUPP=uiuiTuiU
kjetil b halvorsen
Assim, a distribuição de coincide com o padrão normal em , que é a distribuição condicional de dada . PYUYYU
Kjetil b halvorsen