Problema na identificação de parâmetros

Eu sempre luto para obter a verdadeira essência da identificação na econometria. Eu sei que afirmamos que um parâmetro (digamos ) pode ser identificado se, simplesmente olhando para sua distribuição (conjunta), pudermos inferir o valor do parâmetro. Em um caso simples de , onde , podemos afirmar que é identificado se soubermos que sua variância . Mas e se onde é um parâmetro desconhecido? Pode e ser identificados?$\hat{\theta}$$y=b_1X+u$$E[u]=0,E[u|x]=0$$b_1$$Var(\hat{b})>0$$E[u|X]=a$$a$$a$$b_1$

Se eu expandir o modelo para onde e , para mostrar que estão identificados, faça Eu simplesmente tenho que reafirmar que a variação para todos os três parâmetros é maior que zero?$Y=b_0+b_1X+b_2XD=u$$D\in\{0,1\}$$E[u|X,D]=0$$b_1,b_2,b_3$

Agradeço toda a ajuda em limpar minha mente com relação à identificação.

Vamos primeiro definir os seguintes objetos: Em um modelo estatístico usado para modelar como uma função de , existem parâmetros denotados por vetor . Esses parâmetros podem variar dentro do espaço de parâmetros . Não estamos interessados ​​na estimativa de todos esses parâmetros, mas apenas de um determinado subconjunto, digamos em dos parâmetros que denotamos e que variam dentro do espaço de parâmetros . Em nosso modelo as variáveis e os parâmetros$M$$Y$$X$$p$$\theta$$\Theta \subset \mathbb{R^p}$$q \leq p$$\theta^0$$\Theta^0 \subset \mathbb{R^q}$$M$$X$$\theta$ vai agora ser mapeada como para explicar . Esse mapeamento é definido por e pelos parâmetros.$Y$$M$

Nesse cenário, a identificabilidade diz algo sobre a Equivalência Observacional . Em particular, se os parâmetros forem identificáveis ​​em então ele sustentará que$\theta^0$$M$$\nexists \theta^1 \in \Theta^0: \theta^1 \neq \theta^0, M(\theta^0) = M(\theta^1)$ . Em outras palavras, não existe um vector de parâmetros diferentes que iria induzir o mesmo processo de geração de dados, tendo em conta a especificação do modelo M . Para tornar esses conceitos mais concebíveis, dou dois exemplos.$\theta^1$$M$

Exemplo 1 : Defina para ; X ∼ N ( μ , σ 2 I n ) ; ε ~ N ( 0 , σ 2 e eu n ) o modelo estatístico simples H : Y = um + X b + ε e supor que ( a , b ) ∈ R 2 (de modo $\theta = (a,b)$$X\sim N(\mu, \sigma^2I_{n}); \varepsilon \sim N(0, \sigma_e^2 I_{n})$$M$

$$\begin{align} Y = a+Xb+\varepsilon \end{align}$$ $(a,b) \in \mathbb{R^2}$ ). Fica claro que, se θ 0 = ( a , b ) ou θ 0 = a , sempre será válido que θ 0 é identificável: O processo que gera Y a partir de X tem uma relação de 1 : 1 com os parâmetros a e b . Fixando ( a , b ) , não será possível encontrar uma segunda tupla em R descrevendo o mesmo Processo de Geração de Dados.$\Theta = \mathbb{R^2}$$\theta^0 = (a,b)$$\theta^0 = a$$\theta^0$$Y$$X$$1:1$$a$$b$$(a,b)$$\mathbb{R}$

Exemplo 2 : Defina para ; X ∼ N ( μ , σ 2 I n ) ; ε ∼ N ( 0 , σ 2 e I n ) o modelo estatístico mais complicado M ′ : Y = a + X ( $\theta = (a,b,c)$$X\sim N(\mu, \sigma^2I_{n}); \varepsilon \sim N(0, \sigma_e^2 I_{n})$$M'$ e supor que(a,b)∈R2ec∈R∖{0}(modoΘ=R3∖{(l,m,0)|(l,m)∈R2}). Enquanto paraθ0, esse seria um modelo estatístico identificável, não será válido se um incluir outro parâmetro (isto é,

$$\begin{align} Y = a+X(\frac{b}{c})+\varepsilon \end{align}$$ $(a,b) \in \mathbb{R^2}$$c \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$$\Theta = \mathbb{R^3}\setminus\{(l,m,0)| (l,m) \in \mathbb{R^2}\}$$\theta^0$$b$ou ) Por quê? Porque para qualquer par de ( b , c ) , existem infinitamente muitos outros pares no conjunto B : = { ( x , y ) | ( X / y ) = ( b / c ) , ( x , y ) ∈ R 2 } . A solução óbvia para o problema nesse caso seria a introdução de um novo parâmetro d = b /$c$$(b,c)$$B:=\{(x,y)|(x/y) = (b/c), (x,y)\in\mathbb{R}^2\}$$d = b/c$substituindo a fração para identificar o modelo. No entanto, pode-se estar interessado em e c como parâmetros separados por razões teóricas - os parâmetros podem corresponder aos parâmetros de interesse em uma (econômico) sentido teoria. (Por exemplo, b pode ser 'propensão a consumir' e c pode ser 'confiança', e você pode querer estimar essas duas quantidades a partir do seu modelo de regressão. Infelizmente, isso não seria possível.)$b$$c$$b$$c$