O que significa dizer que têm uma distribuição normal "comum"?

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Uma pergunta de exercício faz

Sejam rvs com uma distribuição normal comum com . Calcule o coeficiente de dependência da cauda superior para todos .X1,X2N(0,1)Corr(X1,X2)=ρρ[1,1]

O que significa dizer que eles têm uma distribuição normal "comum"?

Meu primeiro pensamento foi que eles queriam dizer que e são variáveis ​​distribuídas normais univariadas . No entanto, se isso for verdade, então a pergunta não faz sentido. A dependência da cauda não pode ser calculada.X1X2N(0,1)

Portanto, acredito que por distribuição normal "comum", eles significam a distribuição normal bivariada?

FoetDen
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Respostas:

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Isso significa que duas coisas são verdadeiras.

Primeiro:

P(X1<t)=P(X2<t)

para todos os números reais (ou seja, e têm a mesma distribuição, geralmente a abreviação equidistribuída é usada para descrever essa condição).tX1X2

Segundo:

P(X1<t)=1σ2πte(xμ)22σ2dx

para alguns números fixos e (ou seja, a distribuição de (*) é uma distribuição normal).μσX1

Isso não implica que (X1,X2) seja normal da articulação sem outras suposições. Se isso foi intencional, não é o que o autor realmente escreveu.

(*) Dada a primeira condição, isso implica que a distribuição de X2 também é uma distribuição normal.

Matthew Drury
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Eu acho que "comum" aqui significa apenas que a distribuição marginal N(0,1) é comum a ambas as variáveis ​​aleatórias (ou seja, elas têm a mesma distribuição marginal). Embora tecnicamente isso seja insuficiente para fornecer uma distribuição normal bivariada, acho que o escritor provavelmente pretendia essa forma:

[XY]N([00],[1ρρ1]).

Essa especificação produziria distribuições marginais comuns XN(0,1) e YN(0,1) . Se eu fosse você, sugeriria observar esse tecnicismo e prosseguir com base no fato de que as variáveis ​​aleatórias são normais bivariadas. Convém anotar o problema novamente como uma advertência depois de responder.

Ben - Restabelecer Monica
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O exercício está mal formulado. Eu suspeito que o que se quer dizer é que as duas variáveis ​​aleatórias são conjuntamente normais e têm uma distribuição comum. Se elas são normais separadamente, mas não são normais em conjunto, não há informações suficientes para responder à pergunta. Se minha suspeita estiver certa, o exercício deveria ter dito que são conjuntamente normais.

Ter uma distribuição "comum" significa simplesmente que ambos têm a mesma distribuição. Portanto:

[X1X2]N([μ1μ2],[σ12ρσ1σ2ρσ1σ2σ22]) não é comum[X1X2]N([μμ],[σ2ρσ2ρσ2σ2]) comum
XEuN(μ,σ2)Eu=1,2,

Michael Hardy
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