Calcular a variação sem calcular a média

Podemos calcular a variância sem usar a média como o ponto 'base'?

mathematical-statistics variance mean median scale-estimator Vai
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Dado , a variação é dada por por definição. O formulário simplifica para . Ou seja, para a variação você precisa . Claro que você pode definir sua própria medida de dispersão usando alguma outra estatística ... ou usar uma das respostas.

E (X^{2}) < \infty

$\mathbb{E}(X^2)<\infty$

σ^{2} = E ((X - E (X))^{2})

$\sigma^2 = \mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X))^2)$

σ^{2} = E (X^{2}) - E (X)^{2}

$\sigma^2 =\mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2$

E (X)

$\mathbb{E}(X)$

BloXX 26/03/19

Resposta curta: Muitas outras maneiras de resumir a variabilidade (dispersão, dispersão, escala), mas nenhuma das outras seria a variação. (Na verdade, a variação pode ser definida sem referência à média.)

Nick Cox

Sim: dados dados calcule a covariância de conforme descrito em stats.stackexchange.com/a/18200/919 . Este método nunca calcula a média.

X,

$X,$

(X, X)

$(X,X)$

whuber

Respostas:

O desvio absoluto mediano é definido como e é considerado uma alternativa ao desvio padrão. Mas essa não é a variação. Em particular, ele sempre existe, independentemente de o permitir ou não momentos. Por exemplo, o MAD de um Cauchy padrão é igual a um, pois

MAD (X) = median | X - median (X) |

$\text{MAD}(X) = \text{median} |X-\text{median}(X)|$

X

$X$

\underset{0 is the median}{\underset{⏟}{P (| X - 0 | < 1)}} = \arctan (1) / π - \arctan (- 1) / π = \frac{1}{2}

$\underbrace{\Bbb P(|X-0|<1)}_\text{0 is the median}=\arctan(1)/\pi-\arctan(-1)/\pi=\frac{1}{2}$

Xi'an
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Os recém-chegados a essa idéia devem observar também o desvio médio absoluto da média (desvio médio, frequentemente) e o desvio absoluto médio da média. Não me lembro do desvio absoluto médio da mediana, mas estou aberto a exemplos. A abreviação MAD, infelizmente, foi aplicada de várias maneiras; portanto, confie no código das pessoas primeiro, depois em sua definição algébrica ou verbal, mas o uso de uma abreviação MAD apenas de maneira alguma. Nas distribuições simétricas e em outras, o MAD, conforme definido aqui, é metade da faixa interquartil. (Fazendo um trocadilho com MAD eu resisto como um pouco demasiado óbvio.)

Nick Cox

Além disso, observe que as implementações de software da função média do desvio absoluto podem escalar o valor MAD por um fator constante da forma apresentada nesta resposta, para que seu valor coincida com o desvio padrão para uma distribuição normal.

EdM

@ Edm Excelente ponto. Pessoalmente, não gosto dessa prática, a menos que as pessoas usem algum termo diferente. Já não é o MAD!

Nick Cox

@NickCox: o apelo de centralizar na mediana é que a quantidade sempre existe, independentemente de a distribuição gozar de uma média. Esta é a definição encontrada na Wikipedia .

Xian

MAD é destruição mútua assegurada

Kjetil b Halvorsen

Já existe uma solução para esta pergunta no Math.stackexchange :

Resumo as respostas:

Você pode usar que a variação seja , que recebe apenas uma passagem (calculando a média e a média dos quadrados simultaneamente), mas pode ser mais propensa a erros de arredondamento se a variação é pequena em comparação com a média. $\overline{x^2} - \overline {x}^2$

Que tal a soma das diferenças quadradas aos pares? De fato, você pode verificar por computação direta que

2 v_{X} = \frac{1}{n (n - 1)} \sum_{1 \leq i < j \leq n} (x_{i} - x_{j})^{2} .

$2v_X = \frac{1}{n(n-1)}\sum_{1 \le i < j \le n}(x_i - x_j)^2.$

A variação da amostra sem média é calculada como: $v_{X} = \frac{1}{n - 1} [\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - \frac{1}{n} {(\sum_{i = 1}^{n} x_{i})}^{2}]$ $v_{X}=\frac{1}{n-1}\left [ \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-\frac{1}{n}\left ( \sum_{i=1}^{n}x_{i} \right ) ^{2}\right ]$

Ferdi
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