Imagine que eu dei uma variável aleatória com supp e para qualquer fixo
Agora, com uma amostra iid - é possível que
para , onde descreve o ésimo menor elemento?
Imagine que eu dei uma variável aleatória com supp e para qualquer fixo
Agora, com uma amostra iid - é possível que
para , onde descreve o ésimo menor elemento?
Respostas:
Sim, existem distribuições em que a proporção do segundo menor para o menor se aproxima da unidade em probabilidade, à medida que o tamanho da amostra cresce. Eles precisam se comportar "essencialmente" como distribuições com suporte estritamente positivo no sentido de se aproximar da probabilidade zero muito, muito rapidamente na origem. Veja a primeira figura abaixo para uma ilustração.
(Confio aqui na intuição correta de que, quando a distribuição tiver um mínimo estritamente positivo, eventualmente os dois menores valores em grandes amostras ficarão próximos desse mínimo com alta probabilidade, de onde sua proporção se aproxima da unidade. Essa intuição não funcionará quando o mínimo é zero.)
Por conveniência, vamos trabalhar com variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuições contínuas. Isso significa que eles têm uma densidade comum e é sua função de distribuição comum.Xi f F(x)=F(0)+∫x0f(t)dt
A questão diz respeito aos dois menores entre os primeiros dessas variáveis, onde crescerá arbitrariamente grande. A distribuição conjunta dos dois menores valores entre eles tem densidaden X<Y, n
para todos os Introduzindo uma variável definida por0≤x≤y. u
para representar a razão alterando variáveis de para integrando de a (que pode ser expresso em termos de ) e integrando possíveis valores de nos fornecerão a função de distribuição da razão conformex/y≤1, (x,y) (u,y), u=0 u=r F y U=X/Y
Essa expressão será o objeto de nossa análise.
Em alguns casos, a distribuição de é fácil de avaliarU . Embora esta próxima seção seja uma diversão, ela revela um processo de pensamento que leva a uma resposta.
Tomemos, por exemplo, para que Eu obtenho uma resposta que não varia com : para possíveis proporçõesFp(y)=yp 0≤y≤1 p>0. n 0≤r≤1,
Isso indica que qualquer distribuição que se comporte como perto da origem produzirá algo como esta distribuição de energia para a razão; em particular, não convergirá para em probabilidade.F F(y)≈yp 1
À medida que cresce, converge para o valor constante em probabilidade. Em outras palavras, embora não tenhamos descoberto nenhuma distribuição em que a proporção aproxima de , temos uma família de distribuições em que essa proporção pode ser feita o mais próximo de possível, escolhendo um membro adequado da família (ou seja, , escolhendo a potência para ser suficientemente grande). Podemos, portanto, considerar distribuições onde, na origem, é mais plano do que qualquer polinômio. O clássico, e uma das mais simples, tais funções ép (1) 1 U 1 1 p F
para0≤x≤1.
Obviamente, seu suporte se estende até porque o exponencial nunca é zero. é infinitamente diferenciável em mas todas as derivadas são zero lá.0, F 0
Nesse caso, a integral para ainda pode ser avaliada. É mais simples expressar o resultado em termos de que comoPr(U≤r) s≥1, 1/s2=r,
Onde
é a função Pochhammer. Aqui estão gráficos dessa probabilidade (em função de ) para e Os gráficos caem para um nível de zero à medida que aumenta:s n=2,22,222,223, 224. n
É fácil mostrar que, para todoz=s−1>0,
como cresce. (Examine a série MacLaurin de seu logaritmo.) Assim, para todos vai para demonstrando que a razão aproxima da constante em probabilidade.n s=1+z>1, (2) 0, U 1
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