Cálculo do valor esperado de normal truncado

Usando o resultado da relação de usinas, deixe , em seguida,$X \sim N(\mu, \sigma^2)$

$E(X| X<\alpha) = \mu - \sigma\frac{\phi(\frac{a- \mu}{\sigma})}{\Phi(\frac{a-\mu}{\sigma})}$

No entanto, ao calcular em R., não obtenho os resultados corretos como

> mu <- 1
> sigma <- 2 
> a <- 3 
> x <- rnorm(1000000, mu, sigma) 
> x <- x[x < a] 
> mean(x)
[1] 0.4254786
> 
> mu -  sigma * dnorm(a, mu, sigma) / pnorm(a, mu, sigma)
[1] 0.7124

O que estou fazendo errado?

A implementação da sua fórmula está errada porque, Como você pode ver, temos um no denominador de , que produz: método fornece , onde você precisa multiplicá-lo com para obter . Como seu , isso pode ser feito praticamente subtraindo o segundo termo novamente, que é

$$\phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\neq f_{X,\mu,\sigma}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$ $\sigma$$f_{X,\mu,\sigma}(x)$ $$\phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=\sigma f_{X,\mu,\sigma}(x)$$ dnorm$f_{X,\mu,\sigma}(x)$$\sigma$$\phi$$\sigma=2$$1-0.7124=0.2876$ : que é próximo à sua estimativa. $$1-0.2876-0.2876=0.4247$$