Como o poder de uma regressão logística e de um teste t se compara?

O poder de uma regressão logística e de um teste t é equivalente? Nesse caso, eles devem ser "equivalentes à densidade de dados", pelo que quero dizer que o mesmo número de observações subjacentes produz o mesmo poder, dado um alfa fixo de 0,05. Considere dois casos:

1. [Teste t paramétrico]: são feitos 30 desenhos de uma observação binomial e os valores resultantes são calculados como média. Isso é feito 30 vezes para o grupo A (que tem um Pr binomial de 0,70 de ocorrência) e 30 vezes para o grupo B (que tem um Pr binomial de 0,75 de ocorrência). Isso gera 30 médias por grupo que representam um resumo de 1.800 empates de uma distribuição binomial. Um teste t de 58df é realizado para comparar as médias.
2. [A regressão logística]: Uma regressão logística é executada com uma inclinação codificada simulada que representa a participação no grupo e cada um dos 1.800 sorteios.

Minha pergunta tem duas partes:

1. Dado um conjunto alfa de 0,05, o poder dessas metodologias será o mesmo ou diferente? Por quê? Como posso provar isso?
2. A resposta à pergunta 1 é sensível aos tamanhos das amostras que entram no teste t, ao tamanho da amostra de cada grupo no teste t, às probabilidades binomiais subjacentes ou a algum outro fator? Se sim, como posso saber (sem simulação) que o poder é realmente diferente e que tipo de mudanças produzirá que tipo de mudanças no poder? Como alternativa, forneça o código R elaborado que resolve o problema usando a simulação.

Se calculei corretamente, a regressão logística assintoticamente tem o mesmo poder que o teste t. Para ver isso, anote sua probabilidade logarítmica e calcule a expectativa de seu Hessian no seu máximo global (suas estimativas negativas são a matriz de variância-covariância da solução ML). Não se preocupe com a parametrização logística usual: é mais simples parametrizar com as duas probabilidades em questão. Os detalhes dependerão exatamente de como você testa a importância de um coeficiente de regressão logística (existem vários métodos).

O fato de esses testes terem poderes semelhantes não deve ser muito surpreendente, porque a teoria do qui-quadrado para estimativas de ML é baseada em uma aproximação normal da probabilidade logarítmica, e o teste t é baseado em uma aproximação normal das distribuições de proporções. O cerne da questão é que ambos os métodos fazem as mesmas estimativas das duas proporções e ambas as estimativas têm os mesmos erros padrão.

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Uma análise real pode ser mais convincente. Vamos adotar uma terminologia geral para os valores em um determinado grupo (A ou B):

• é a probabilidade de um 1.$p$
• é o tamanho de cada conjunto de empates.$n$
• é o número de conjuntos de empates.$m$
• é a quantidade de dados.$N = m n$
• (igual a 0 ou 1 ) é o valor do j- ésimo resultado no i- ésimo conjunto de empates.$k_{ij}$$0$$1$$j^\text{th}$$i^\text{th}$
• é o número total de unidades no i- ésimo conjunto de empates.$k_i$$i^\text{th}$
• é o número total de unidades.$k$

A regressão logística é essencialmente o estimador de ML de . Seu logaritmo é dado por$p$

$$\log(\mathbb{L}) = k \log(p) + (N-k) \log(1-p).$$

Suas derivadas em relação ao parâmetro são$p$

$$\frac{\partial \log(\mathbb{L})}{ \partial p} = \frac{k}{p} - \frac{N-k}{1-p} \text{ and}$$

$$-\frac{\partial^2 \log(\mathbb{L})}{\partial p^2} = \frac{k}{p^2} + \frac{N-k}{(1-p)^2}.$$

Configurando os rendimentos primeiro a zero o ML estimativa P = k / N e entupimento em que o recroco da segunda expressão produz a variância p ( 1 - P ) / N , que é o quadrado do erro padrão.${\hat{p} = k/N}$$\hat{p}(1 - \hat{p})/N$

A estatística t será obtida dos estimadores com base nos dados agrupados por conjuntos de sorteios; ou seja, como a diferença das médias (uma do grupo A e outra do grupo B) dividida pelo erro padrão dessa diferença, que é obtido a partir dos desvios padrão das médias. Vamos examinar a média e o desvio padrão para um determinado grupo, então. As médias iguais , que é idêntico ao ML estimador p . O desvio padrão em questão é o desvio padrão dos meios de tração; isto é, é o desvio padrão do conjunto de k i / n . Aqui está o cerne da questão, então vamos explorar algumas possibilidades.$k/N$$\hat{p}$$k_i/n$

1. $n = 1$$m = N$$k_{i}$$N/(N-1)$$\hat{p}(1 - \hat{p})$$\sqrt{N/(N-1)}$$1$$N = 1800$

2. $k_i/n$$p(1-p)/n$$k_i$$n$$p$$p(1-p)$$m$$p(1-p)/n/m = p(1-p)/N$

$m$$n$$m n = N$

$p = 0.70$$p = 0.74$$m = 900, n = 1$$m = n = 30$$m = 2, n = 450$$\alpha = 0.05$$p = 0.50$$p = 0.52$

A moral dessa análise é:

1. $N$$m$
2. $m$$n$
3. $N$

Aqui está o código em R que ilustra a simulação da resposta do whuber . Comentários sobre como melhorar meu código R são bem-vindos.

N <- 900            # Total number data points
m <- 30;            # Size of draw per set
n <- 30;            # No of sets

p_null <- 0.70;     # Null hypothesis
p_alternate <- 0.74 # Alternate hypothesis
tot_iter <- 10000;

set.seed(1);        # Initialize random seed
null_rejected <- 0; # Set counter to 0
for (iter in 1:tot_iter)
{
    draws1 <- matrix(0,m,n);
    draws2 <- matrix(0,m,n);
    means1 <- matrix(0,m);
    means2 <- matrix(0,m);

    for (obs in 1:m)
    {
        draws1[obs,] <- rbinom(n,1,p_null);
        draws2[obs,] <- rbinom(n,1,p_alternate);

        means1[obs,] <- mean(draws1[obs,]);
        means2[obs,] <- mean(draws2[obs,]);
    }
    if (t.test(means1,means2,alternative="l")$p.value <= 0.05)
    {
        null_rejected <- null_rejected + 1; 
    }
}
power <- null_rejected / tot_iter