Var (X) é conhecido, como calcular Var (1 / X)?

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Se eu tiver apenas Var(X) , como posso calcular Var(1X)?

Eu não tenho qualquer informação sobre a distribuição de X , então não posso usar a transformação, ou quaisquer outros métodos que usam a distribuição de probabilidade de X .

UM RATO
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Eu acho que isso pode ajudá-lo.
5119 Christoph_J

Respostas:

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É impossível.

Considere uma sequência Xn de variáveis ​​aleatórias, em que

P(Xn=n1)=P(Xn=n+1)=0.5

Então:

Var(Xn)=1for all n

Mas Var(1Xn)aproxima de zero quandonvai para o infinito:

Var(1Xn)=(0.5(1n+11n1))2

Este exemplo usa o fato de que é invariável nas traduções de X , mas V a r ( 1Var(X)Xnão é.Var(1X)

Mas mesmo se assumirmos , não podemos calcular V a r ( 1E(X)=0: deixeVar(1X)

P(Xn=1)=P(Xn=1)=0.5(11n)

e

P(Xn=0)=1nfor n>0

Então aproxima de 1 quando n vai para o infinito, mas V a r ( 1Var(Xn)npara todos osn.Var(1Xn)=n

mogron
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Você pode usar a série Taylor para obter uma aproximação dos momentos de baixa ordem de uma variável aleatória transformada. Se a distribuição for razoavelmente "pequena" em torno da média (em um sentido particular), a aproximação pode ser bastante boa.

Então por exemplo

g(X)=g(μ)+(Xμ)g(μ)+(Xμ)22g(μ)+

assim

Var[g(X)]=Var[g(μ)+(Xμ)g(μ)+(Xμ)22g(μ)+]=Var[(Xμ)g(μ)+(Xμ)22g(μ)+]=g(μ)2Var[(Xμ)]+2g(μ)Cov[(Xμ),(Xμ)22g(μ)+]+Var[(Xμ)22g(μ)+]

geralmente apenas o primeiro termo é usado

Var[g(X)]g(μ)2Var(X)

Nesse caso (supondo que eu não tenha cometido um erro), com ,Var[1g(X)=1X.Var[1X]1μ4Var(X)

Wikipedia: Expansões de Taylor para os momentos de funções de variáveis ​​aleatórias

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Alguns exemplos para ilustrar isso. Gerarei duas amostras (distribuídas por gama) em R, uma com uma distribuição 'não tão rígida' sobre a média e outra um pouco mais apertada.

 a <- rgamma(1000,10,1)  # mean and variance 10; the mean is not many sds from 0
 var(a)
[1] 10.20819  # reasonably close to the population variance

A aproximação sugere a variância de deve ser perto de ( 1 / 10 ) 4 × 10 = 0,0011/a(1/10)4×10=0.001

 var(1/a)
[1] 0.00147171

Cálculo algébrico tem que a variância da população real é 1/6480.00154

Agora, para o mais apertado:

 a <- rgamma(1000,100,10) # should have mean 10 and variance 1
 var(a)
[1] 1.069147

A aproximação sugere a variância de deve ser perto de ( 1 / 10 ) 4 × 1 = 0,00011/a(1/10)4×1=0.0001

 var(1/a)
[1] 0.0001122586

Algebraic calculation shows that the population variance of the reciprocal is 102992×980.000104.

Glen_b -Reinstate Monica
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1
Note that in this case, a quite weak hypothesis leads to the conclusion that no mean (whence variance) for 1/X will exist, i.e., that the approximation in the answer will be rather misleading. :-) An example hypothesis is that X has a density f that is continuous in an interval around zero and such that f(0)0. The result then follows because the density will be bounded away from zero on some interval [ϵ,ϵ]. The hypothesis just given is not the weakest possible, of course.
cardinal
The reason the Taylor series argument then fails is because hides the remainder (error) term, which in this case is
R(x,μ)=(x+μ)(xμ)2xμ,
and this behaves badly around x=0.
cardinal
One must indeed be careful about the behavior of the density near 0. Note that in the above gamma examples, the distribution of the inverse is inverse gamma, for which having a finite mean requires α>1 (α being the shape parameter of the gamma we're inverting). The two examples had α=10 and α=100. Even so (with "nice" distributions for inverting) neglect of higher terms can introduce a noticeable bias.
Glen_b -Reinstate Monica
this seems in the right direction, of a reciprocal shifted normal distribution instead of a reciprocal standard normal distribution: en.wikipedia.org/wiki/…
Felipe G. Nievinski