Estimador imparcial de exponencial de medida de um conjunto?

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Suponha que tenhamos um conjunto (mensurável e adequadamente comportado) SBRn , onde B é compacto. Além disso, suponha que possamos extrair amostras da distribuição uniforme sobre B na medida de Lebesgue λ() e que conhecemos a medida λ(B) . Por exemplo, talvez B é uma caixa de [c,c]n contendo S .

Para αR fixo , existe uma maneira simples e imparcial de estimar eαλ(S) amostrando uniformemente os pontos em B e verificando se eles estão dentro ou fora de S ?

Como exemplo de algo que não funciona direito, suponha que amostremos k pontos p1,,pkUniform(B) . Então podemos usar a estimativa de Monte Carlo

λ(S)λ^:=#{piS}kλ(B).
Mas, enquanto λ é um estimador imparcial deλ(S), eu não acho que é o caso quee-alfa λ é um estimador imparciale-alfaλ(S). Existe alguma maneira de modificar esse algoritmo?λ^λ(S)eαλ^eαλ(S)

Justin Solomon
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Respostas:

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Suponha que você tenha os seguintes recursos disponíveis:

  1. Você tem acesso a um estimador λ .λ^
  2. λ^ é imparcial paraλ(S).
  3. λ^ é quase certamente limitado superiormente porC.
  4. Você conhece a constante C , e
  5. Você pode formar realizações independentes de λ tantas vezes quanto você gostaria.λ^

Agora, observe que para qualquer u>0 , o seguinte vale (pela expansão de Taylor de expx ):

eαλ(S)=eαCeα(Cλ(S))=eαCk0(α[Cλ(S)])kk!=eαCeuk0eu(α[Cλ(S)])kk!=euαCk0ukeuk!(α[Cλ(S)]u)k

Agora, faça o seguinte:

  1. Exemplo de .KPoisson(u)
  2. Forme como estimadores imparciais de .λ^1,,λ^Kλ(S)
  3. Retornar o estimador

Λ^=euαC(αu)Ki=1K{Cλ^i}.

Λ^ X(S) é então um estimador não negativo e imparcial de . Isto é porqueλ(S)

E[Λ^|K]=euαC(αu)KE[i=1K{Cλ^i}|K]=euαC(αu)Ki=1KE[Cλ^i]=euαC(αu)Ki=1K[Cλ(S)]=euαC(αu)K[Cλ(S)]K

e assim

E[Λ^]=EK[E[Λ^|K]]=EK[euαC(αu)K[Cλ(S)]K]=euαCk0P(K=k)(αu)K[Cλ(S)]K=euαCk0ukeuk!(α[Cλ(S)]u)k=eαλ(S)

pelo cálculo anterior.

πr8
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Interessante! O estimador para descrito na pergunta não funciona aqui, pois é delimitado acima por ? Além disso, como isso não contradiz a resposta do @whuber abaixo? Existe um argumento fácil por que isso é imparcial? Desculpe por tantas perguntas, a minha teoria da probabilidade é fraco :-)λ^λ(B)<
Justin Solomon
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O estimador que você descreve funciona, pois você conhece . Eu acho que isso não contradiz a outra resposta por causa da suposição ; dado o acesso finito a estimadores imparciais, não acho que essa construção funcionaria. A imparcialidade ocorre comparando a expectativa de com as séries de potências acima; Vou deixar isso mais claro na resposta. 5 Λλ(B)5Λ^
πr8
Tem certeza de que pode trocar o produto e a expectativa na segunda linha da prova de imparcialidade?
precisa saber é
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Parece que está tudo bem porque eles são computados, certo?
Justin Solomon
2
+1 Acho que este é um exemplo interessante e instrutivo. É bem-sucedido ao não fazer uma suposição implícita na minha resposta: que o tamanho da amostra é especificado ou pelo menos limitado.
whuber
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A resposta está no negativo.

Uma estatística suficiente para uma amostra uniforme é a contagem dos pontos observados em Essa contagem tem uma distribuição binomial . Escreva eXS.(n,λ(S)/λ(B))p=λ(S)/λ(B)α=αλ(B).

Para um tamanho de amostra de seja qualquer estimador (não aleatório) de A expectativa én,tnexp(αλ(S))=exp((αλ(B))p)=exp(αp).

E[tn(X)]=x=0n(nx)px(1p)nxtn(x),

que é igual a um polinômio de grau no máximo em Mas se o exponencial não pode ser expresso como um polinômio em (Uma prova: pegue derivadas. O resultado para a expectativa será zero, mas a derivada do exponencial, que é exponencial em não pode ser zero.)np.αp0,exp(αp)p.n+1p,

A demonstração para estimadores aleatórios é quase a mesma: ao assumir as expectativas, obtemos novamente um polinômio emp.

Conseqüentemente, nenhum estimador imparcial existe.

whuber
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Ah, isso é ruim! Obrigado pela boa prova. Mas, a série de Taylor para converge rapidamente - talvez exista um estimador "aproximadamente imparcial" por aí? Não tenho certeza o que isso significa (eu não sou muito de um estatístico :-))exp(t)
Justin Solomon
Quão rápido, exatamente? A resposta depende do valor de e aí está o seu problema, porque você não sabe qual é esse valor. Você sabe apenas que ele fica entre e Você pode usar isso para estabelecer um limite no viés, se quiser. 0 α .αp0α.
whuber
Na minha aplicação eu espero para ocupar uma grande parte da . Eu gostaria de usar esse valor em uma relação de aceitação de Metropolis-Hastings pseudo-marginal, não tenho certeza se esse método pode lidar com níveis mais controláveis da viés ...BSB
Justin Salomão
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BTW Eu realmente aprecio seus pensamentos sobre a outra resposta a esta pergunta!
Justin Solomon