Qual é o maior de um monte de variáveis aleatórias normalmente distribuídas?

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Eu tenho variáveis aleatórias . tem uma distribuição normal com média e variância . Os rvs são normalmente distribuídos com média e variação . Tudo é mutuamente independente. $X_0,X_1,\dots,X_n$ $X_0$ $\mu>0$ $1$ $X_1,\dots,X_n$ $0$ $1$

Deixe denotar o evento que é o maior deles, ou seja, . Eu quero calcular ou estimar . Estou procurando uma expressão para , em função de , ou uma estimativa ou aproximação razoável para . $E$ $X_0$ $X_0 > \max(X_1,\dots,X_n)$ $\Pr[E]$ $\Pr[E]$ $\mu,n$ $\Pr[E]$

Na minha aplicação, $n$ é fixo ( $n=61$ ) e quero encontrar o menor valor para $\mu$ que faça $\Pr[E] \ge 0.99$ , mas também estou curioso sobre a questão geral.

probability normal-distribution DW
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Qual é o tamanho

n

$n$ ? Deveria haver boas expressões assintóticas baseadas na teoria de grandes amostras.

whuber

@ whuber, obrigado! Editei a pergunta: no meu caso,

n = 61

$n=61$ . Mesmo que

n = 61

$n=61$ não seja grande o suficiente para contar como grande, se houver boas estimativas assintóticas no caso em que

n

$n$ for grande, isso seria interessante.

DW

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Usando integração numérica, .

μ \approx 4.91912496

$\mu \approx 4.91912496$

whuber

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O cálculo de tais probabilidades foi estudado extensivamente por engenheiros de comunicação sob o nome de sinalização ortogonal ar, onde o modelo é que um dos sinais ortogonais igualmente prováveis de energia igual sendo transmitidos e o receptor tentando decidir qual deles foi transmitido examinando o saídas de filtros correspondentes aos sinais. Dependendo da identidade do sinal transmitido, as saídas de amostra dos filtros correspondentes são (aleatoriamente) variáveis aleatórias normais independentes da variação unitária da unidade. A saída de amostra do filtro correspondente ao sinal transmitido é uma variável aleatória , enquanto as saídas de todos os outros filtros são $M$ $M$ $M$ $N(\mu,1)$ $N(0,1)$ variáveis aleatórias.

A probabilidade condicional de uma decisão correta (que no presente contexto é o evento $C = \{X_0 > \max_i X_i\}$ ) condicionado em $X_0 = \alpha$ é ondeé a distribuição cumulativa de probabilidade de uma variável aleatória normal padrão e, portanto, a probabilidade incondicional é

P (C ∣ X_{0 0} = α) = \prod_{Eu = 1}^{n} P {X_{Eu} < α ∣ X_{0 0} = α} = {[Φ (α)]}^{n}

$P(C \mid X_0 = \alpha) = \prod_{i=1}^n P\{X_i < \alpha \mid X_0 = \alpha\} = \left[\Phi(\alpha)\right]^n$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

onde

é a função de densidade normal padrão. Não há expressão de forma fechada para o valor dessa integral que deve ser avaliada numericamente. Os engenheiros também estão interessados no evento complementar - que a decisão está errada - mas não gostam de calcular isso como

porque requer uma avaliação muito cuidadosa da integral para

P (C) = \int_{- \infty}^{\infty} P (C ∣ X_{0 0} = α) ϕ (α - μ) d α = \int_{- \infty}^{\infty} {[Φ (α)]}^{n} ϕ (α - μ) d α

$P(C) = \int_{-\infty}^{\infty}P(C \mid X_0 = \alpha) \phi(\alpha-\mu)\,\mathrm d\alpha = \int_{-\infty}^{\infty}\left[\Phi(\alpha)\right]^n \phi(\alpha-\mu)\,\mathrm d\alpha$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

P {X_{0 0} < max_{Eu} X_{Eu}} = P (E) = 1 - P (C)

$P\{X_0 < \max_i X_i\} = P(E) = 1-P(C)$

P (C)

$P(C)$ com precisão de muitos dígitos significativos, e essa avaliação é difícil e demorada. Em vez disso, a integral para

pode ser integrada por partes para obter

1 - P (C)

$1-P(C)$

Essa integral é mais fácil de avaliar numericamente, e seu valor em função de

é representado graficamente e tabulado (embora infelizmente apenas para

) no Capítulo 5 daEngenharia de SistemasdeTelecomunicaçõespor Lindsey e Simon, Prentice-Hall 1973, Dover Press 1991 Como alternativa, os engenheiros usam aunião vinculadaou a desigualdade de Bonferroni

P {X_{0 0} < max_{Eu} X_{Eu}} = \int_{- \infty}^{\infty} n {[Φ (α)]}^{n - 1} ϕ (α) Φ (α - μ) d α .

$P\{X_0 < \max_i X_i\} = \int_{-\infty}^{\infty} n \left[\Phi(\alpha)\right]^{n-1}\phi(\alpha) \Phi(\alpha - \mu)\,\mathrm d\alpha.$

μ

$\mu$

n \leq 20

$n \leq 20$

onde

é a função de distribuição normal cumulativa complementar.

\begin{aligned} P {X_{0 0} < max_{Eu} X_{Eu}} & = P {(X_{0 0} < X_{1}) \cup (X_{0 0} < X_{2}) \cup \dots \cup (X_{0 0} < X_{n})} \\ \leq \sum_{Eu = 1}^{n} P {X_{0 0} < X_{Eu}} \\ = n Q (\frac{μ}{\sqrt{2}}) \end{aligned}

$\begin{align*} P\{X_0 < \max_i X_i\} &= P\left\{(X_0 < X_1)\cup (X_0 < X_2) \cup \cdots \cup (X_0 < X_n)\right\}\\ &\leq \sum_{i=1}^{n}P\{X_0 < X_i\}\\ &= nQ\left(\frac{\mu}{\sqrt{2}}\right) \end{align*}$

Q (x) = 1 - Φ (x)

$Q(x) = 1-\Phi(x)$

A partir do limite da união, vemos que o valor desejado para é limitado acima por $0.01$ $P\{X_0 < \max_i X_i\}$ $60\cdot Q(\mu/\sqrt{2})$ $0.01$ $\mu = 5.09\ldots$ $\mu = 4.919\ldots$

$M$

Dilip Sarwate
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Uma resposta formal:

$N$ $p_N(x)= N p(x) \Phi^{N-1}(x)$ $p$ $\Phi$

$X_0$ $N-1$ $P(E) = (N-1) \int_{-\infty}^{\infty} \int_y^{\infty} p(x_0) p(y) \Phi^{N-2}(y) dx_0 dy$

Pode ser necessário analisar várias aproximações para lidar com isso de forma tratável para sua aplicação específica.

Dave
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+1 Na verdade, a integral dupla simplifica em uma única integral, pois

\int_{y}^{\infty} p (x_{0 0}) d x_{0 0} = 1 - Φ (y - μ)

$\int_y^\infty p(x_0)\,\mathrm dx_0 = 1 - \Phi(y-\mu)$ dando

P (E) = 1 - (N - 1) \int_{- \infty}^{\infty} Φ^{N - 2} (y) p (y) Φ (y - μ) d y

$P(E) = 1 - (N-1)\int_{-\infty}^\infty \Phi^{N-2}(y)p(y)\Phi(y-\mu)\,\mathrm dy$ que é o mesmo que na minha resposta.

Dilip Sarwate

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Respostas:

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