Distribuição posterior da regressão linear bayesiana

Eu tenho pesquisado o uso da regressão linear bayesiana, mas cheguei a um exemplo do qual estou confuso.

Dado o modelo:

$${\bf y} = {\bf \beta}{\bf X} + \bf{\epsilon}$$

Supondo que e um ,p ( β , φ ) α ${\bf \epsilon} \sim N(0, \phi I)$$p(\beta, \phi) \propto \frac{1}{\phi}$

Como é que alcançado?$p(\beta|\phi, {\bf y})$

Onde: .$p(\beta|\phi, {\bf y}) \sim N({\bf X}^{\text{T}}{\bf X})^{-1}{\bf X}^{\text{T}}{\bf y}, \phi ({\bf X}^{\text{T}}{\bf X})^{-1})$

Sua fórmula final está faltando um parêntese esquerdo.

Esse é um problema padrão que não requer trabalho difícil. A página da wikipedia sobre regressão bayesiana resolve um problema mais difícil; você deve usar o mesmo truque (que é basicamente uma forma de completar o quadrado, pois você o quer em termos de por alguns e ), com menos termos para se preocupar. Ou seja, você chega a algo assim:m $(\beta - m)' V^{-1} (\beta - m)$$m$$V$

$$\begin{align}(\mathbf{y}- \mathbf{X} \boldsymbol\beta)^{\rm T}(\mathbf{y}- \mathbf{X} \boldsymbol\beta)&= (\boldsymbol\beta - \hat{\boldsymbol\beta})^{\rm T}(\mathbf{X}^{\rm T}\mathbf{X})(\boldsymbol\beta - \hat{\boldsymbol\beta}) + \mathbf{S} \end{align}$$

Onde

$$\begin{align}\mathbf{S} = (\mathbf{y}- \mathbf{X} \hat{\boldsymbol\beta})^{\rm T}(\mathbf{y}- \mathbf{X} \hat{\boldsymbol\beta})\end{align}$$

no expoente.

Veja também as referências no artigo da wikipedia.

Se for para algum assunto, marque-o como lição de casa.