Limites superiores para a densidade da cópula?

O limite superior de Fréchet-Hoeffding se aplica à função de distribuição de cópula e é dado por

C (u_{1}, . . ., u_{d}) \leq min {u_{1}, . ., u_{d}} .

$C(u_1,...,u_d)\leq \min\{u_1,..,u_d\}.$

Existe um limite superior semelhante (no sentido de que depende das densidades marginais) para a cópula densidade $c(u_1,...,u_d)$ vez do CDF?

Qualquer referência seria muito apreciada.

references joint-distribution bounds copula Coppola
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Que tipo de limite você está procurando? Uma descrição do seu problema real pode ajudar. Tecnicamente, a resposta é "não" de duas maneiras diferentes: (i) pode não haver uma densidade (!) E (b) se houver, poderíamos alterá-la em um conjunto de medidas zero para ser tão grande quanto nós ' eu gostaria. Nós sabemos algo , no entanto. Em particular, suponha que

c

$c$ exista e deixe

R = [a_{1}, b_{1}] \times \dots \times [a_{n}, b_{n}] \subset [0, 1]^{d}

$R = [a_1,b_1] \times \dots \times [a_n,b_n] \subset \mathbb [0,1]^d$ seja qualquer retângulo (hiper) com comprimentos laterais

w_{i} = b_{i} - a_{i}

$w_i = b_i - a_i$ . Então, certamente

{e s s i n f}_{x \in R} c (x) \leq (min_{i} w_{i}) / \prod_{i} w_{i} .

$\mathrm{ess\,inf}_{x \in R} \,c(x) \leq (\min_i w_i) / \prod_i w_i \>.$

cardeal

Como você pode facilmente construir exemplos que satisfazem esse limite, eu suspeito que não há muito mais que possa ser dito. Mas não pensei nisso com cuidado.

cardeal

@ cardinal Obrigado por seus comentários. Na verdade, estou assumindo que a densidade existe para evitar o caso trivial. Eu estava procurando por um limite superior em termos de densidades marginais. Estou particularmente interessado na cópula gaussiana.

Coppola

Se for uma cópula, todas as densidades marginais são uniformes, ou seja, uma função constante. :)

cardeal

Cardard @ Pardon meu francês. Deixe-me reformular minha pergunta. A cópula gaussiana (na qual estou particularmente interessado) é dada por

s (x_{1}, . . ., x_{d}; R) = \frac{1}{det (R)^{1 / 2}} \exp (- 0.5 u^{T} (R^{- 1} - I) u) \prod_{j = 1}^{d} f_{j} (x_{j})

$s(x_1,...,x_d;R)=\dfrac{1}{\mbox{det}(R)^{1/2}}\exp(-0.5 u^T(R^{-1}-I)u) \prod_{j=1}^d f_j(x_j)$ . Onde

u = (u_{1}, . . ., u_{d})

$u=(u_1,...,u_d)$ e

u_{j} = Φ^{- 1} (F_{j} (x_{j}))

$u_j=\Phi^{-1}(F_j(x_j))$ . Por exemplo, isso não pode ser limitado pelo produto

\prod_{j = 1}^{n} f_{j} (x_{j})

$\prod_{j=1}^n f_j(x_j)$ . Então, eu estava procurando outro limite superior que envolva apenas os marginais. E, é claro, eu estava tentando fazer a pergunta de uma maneira mais geral, relacionando-a com os limites acima mencionados. Desculpas pelas minhas vagas palavras.

Coppola

Respostas:

De um modo geral, não, não há. Por exemplo, no caso da cópula gaussiana bivariada, a quantidade no expoente tem um ponto de sela em (0,0) e, portanto, explode até o infinito em duas direções. Se você se deparar com uma classe de densidades de cópulas que são de fato limitadas, informe-me!

MHankin
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Você poderia esclarecer o que você quer dizer com "quantidade no expoente"? A presença de um "ponto de sela" não parece consistente com nenhuma definição padrão de uma distribuição gaussiana.

whuber

@whuber A densidade de uma cópula gaussiana não é uma gaussiana padrão. Se você olhar o comentário de coppola acima, notará que a densidade da cópula gaussiana tem um onde você esperaria apenas a matriz de covariância inversa. A matriz de covariância inversa deve ser positiva simétrica semi-definida, mas o -I permite uma definição não positiva e, portanto, um ponto de sela. Sua presença deve-se à alteração de variáveis ao converter de para

R^{- 1} - I

$R^{-1}-I$

R^{n}

$\mathbb{R}^n$

[0, 1]^{n}

$[0,1]^n$

MHankin

Sim, estou ciente disso - mas não é isso que sua resposta implica. Essa cópula é parametrizada pela matriz de correlação , mas para qualquer um desses é uma função apenas do . Como tal, nunca "explode até o infinito". Não existem matrizes de correlação válidas (ou seja, não-regeneradas) para as quais essa cópula é ilimitada. Por isso solicitei um esclarecimento sobre sua resposta.

R

$R$

R

$R$

x_{i}

$x_i$

R

$R$

whuber

Acabei de lhe enviar uma versão editável de um artigo mais aprofundado do meu exemplo. Deixe-me saber se você acha que é preciso; nesse caso, adicionarei à minha resposta acima. [read_only_version] { overleaf.com/read/bkyjjtmmmnpb }

MHankin