Limites superiores para a densidade da cópula?

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O limite superior de Fréchet-Hoeffding se aplica à função de distribuição de cópula e é dado por

C(u1,...,ud)min{u1,..,ud}.

Existe um limite superior semelhante (no sentido de que depende das densidades marginais) para a cópula densidade c(u1,...,ud) vez do CDF?

Qualquer referência seria muito apreciada.

Coppola
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Que tipo de limite você está procurando? Uma descrição do seu problema real pode ajudar. Tecnicamente, a resposta é "não" de duas maneiras diferentes: (i) pode não haver uma densidade (!) E (b) se houver, poderíamos alterá-la em um conjunto de medidas zero para ser tão grande quanto nós ' eu gostaria. Nós sabemos algo , no entanto. Em particular, suponha que c exista e deixe R=[a1,b1]××[an,bn][0,1]d seja qualquer retângulo (hiper) com comprimentos laterais wi=biai . Então, certamente
essinfxRc(x)(miniwi)/iwi.
cardeal
Como você pode facilmente construir exemplos que satisfazem esse limite, eu suspeito que não há muito mais que possa ser dito. Mas não pensei nisso com cuidado.
cardeal
@ cardinal Obrigado por seus comentários. Na verdade, estou assumindo que a densidade existe para evitar o caso trivial. Eu estava procurando por um limite superior em termos de densidades marginais. Estou particularmente interessado na cópula gaussiana.
Coppola
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Se for uma cópula, todas as densidades marginais são uniformes, ou seja, uma função constante. :)
cardeal
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Cardard @ Pardon meu francês. Deixe-me reformular minha pergunta. A cópula gaussiana (na qual estou particularmente interessado) é dada por s(x1,...,xd;R)=1det(R)1/2exp(0.5uT(R1I)u)j=1dfj(xj) . Onde u=(u1,...,ud) e uj=Φ1(Fj(xj)) . Por exemplo, isso não pode ser limitado pelo produto j=1nfj(xj) . Então, eu estava procurando outro limite superior que envolva apenas os marginais. E, é claro, eu estava tentando fazer a pergunta de uma maneira mais geral, relacionando-a com os limites acima mencionados. Desculpas pelas minhas vagas palavras.
Coppola

Respostas:

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De um modo geral, não, não há. Por exemplo, no caso da cópula gaussiana bivariada, a quantidade no expoente tem um ponto de sela em (0,0) e, portanto, explode até o infinito em duas direções. Se você se deparar com uma classe de densidades de cópulas que são de fato limitadas, informe-me!

MHankin
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Você poderia esclarecer o que você quer dizer com "quantidade no expoente"? A presença de um "ponto de sela" não parece consistente com nenhuma definição padrão de uma distribuição gaussiana.
whuber
@whuber A densidade de uma cópula gaussiana não é uma gaussiana padrão. Se você olhar o comentário de coppola acima, notará que a densidade da cópula gaussiana tem um onde você esperaria apenas a matriz de covariância inversa. A matriz de covariância inversa deve ser positiva simétrica semi-definida, mas o -I permite uma definição não positiva e, portanto, um ponto de sela. Sua presença deve-se à alteração de variáveis ​​ao converter de para
R1I
Rn
[0,1]n
MHankin
Sim, estou ciente disso - mas não é isso que sua resposta implica. Essa cópula é parametrizada pela matriz de correlação , mas para qualquer um desses é uma função apenas do . Como tal, nunca "explode até o infinito". Não existem matrizes de correlação válidas (ou seja, não-regeneradas) para as quais essa cópula é ilimitada. Por isso solicitei um esclarecimento sobre sua resposta. RRxiR
whuber
Acabei de lhe enviar uma versão editável de um artigo mais aprofundado do meu exemplo. Deixe-me saber se você acha que é preciso; nesse caso, adicionarei à minha resposta acima. [read_only_version] { overleaf.com/read/bkyjjtmmmnpb }
MHankin