Qual é o nome dessa distribuição discreta (equação da diferença recursiva) que deduzi?

Me deparei com essa distribuição em um jogo de computador e queria aprender mais sobre seu comportamento. É a decisão de decidir se um determinado evento deve ocorrer após um determinado número de ações do jogador. Os detalhes além disso não são relevantes. Parece aplicável a outras situações, e achei interessante porque é fácil de calcular e cria uma cauda longa.

A cada passo , o jogo gera um número aleatório uniforme 0 ≤ X < 1 . Se X < p ( n ) , o evento é acionado. Após a ocorrência do evento, o jogo redefine n = 0 e executa a sequência novamente. Estou interessado apenas em uma ocorrência do evento para esse problema, porque isso representa a distribuição que o jogo está usando. (Além disso, qualquer dúvida sobre várias ocorrências pode ser respondida com um único modelo de ocorrência.)$n$$0 \leq X < 1$$X < p(n)$$n = 0$

A principal "anormalidade" aqui é que o parâmetro de probabilidade nesta distribuição aumenta com o tempo, ou, em outras palavras, o limite aumenta com o tempo. No exemplo, ele muda linearmente, mas suponho que outras regras possam ser aplicadas. Após etapas ou ações do usuário,$n$

$$p(n) = kn$$

para alguma constante . Em um certo ponto n max , obtemos p ( n max ) ≥ 1 . O evento é simplesmente garantido para ocorrer nessa etapa.$0 < k < 1$$n_{\max}$$p(n_{\max}) \geq 1$

Eu fui capaz de determinar que

e F ( n ) = p ( n ) + F ( n - 1 ) [ 1 - p ( n ) ] para PMF f ( n ) e CDF F ( n ) . Em resumo, a probabilidade de o evento ocorrer no

$$f(n) = p(n)\left[1 - F(n - 1)\right]$$ $$F(n) = p(n) + F(n-1)\left[1 - p(n)\right]$$ $f(n)$$F(n)$$n$o passo é igual à probabilidade , menor a probabilidade de que ele já tenha ocorrido em qualquer passo anterior.$p(n)$

Aqui está uma trama do nosso amigo Monte Carlo, por diversão, com . A mediana atinge 21 e a média 22. $k \approx 0.003$

Isso é amplamente equivalente a uma equação de diferença de primeira ordem do processamento de sinal digital, que é o meu histórico, e, por isso, achei isso bastante novo. Também estou intrigado com a noção de que pode variar de acordo com qualquer fórmula arbitrária.$p(n)$

Minhas perguntas:

1. Qual é o nome dessa distribuição, se houver uma?
2. $f(n)$$F(n)$
3. Existem outros exemplos de distribuições recursivas discretas como essa?

Edita processo esclarecido sobre geração de números aleatórios.

Em certo sentido, o que você fez é caracterizar todas as distribuições de valor inteiro não-negativas.

Vamos deixar de lado a descrição do processo aleatório por um momento e focar nas recursões da pergunta.

$f_n = p_n (1 - F_{n-1})$$F_n = p_n + (1-p_n) F_{n-1}$ $S_n = 1 - F_n = \mathbb P(T > n)$$T$$F$

$$S_n = 1 - F_n = (1-p_n) S_{n-1} \>,$$ $$S_n = \prod_{k=0}^n (1-p_k) \> .$$ $(p_n)$$[0,1]$$n \to \infty$

Mais especificamente,

$(p_n)$$[0,1]$

$$-\sum_{n=0}^\infty \log(1-p_n) = \infty \>,$$

$(p_n)$$[0,1]$

$(p_n)$$[0,1]$$0 < p_n < 1$$n \leq N$$p_n = 0$$n > N$

Mas espere, tem mais!

$F$$f$

$$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)} \>.$$

$\Lambda(t) = \int_0^t h(s) \,\mathrm d s$

$$S(t) = \exp(-\Lambda(t)) = \exp\Big(-\int_0^t h(s) \,\mathrm d s\Big)\>.$$ $h$$h(t) \geq 0$$t$$\int_0^t h(s) \,\mathrm d s \uparrow \infty$$t \to \infty$

$t > t_0$

$$S(t) = e^{-\int_{t_0}^t h(s) \,\mathrm d s} S(t_0) \>.$$

$h(t)$$S(t)$

Conectando de volta ao caso discreto

$S(n)$

$$h(t) = h_n = -\log(1-p_n)\>,$$ $(n-1,n]$$(p_n)$

$p_n$$-\log(1-p_n) \approx p_n = f_n / S_{n-1}$

$p_n = k n$$f_n$$n = \lceil k^{-1} \rceil$$f_n = 0$$n > \lceil k^{-1} \rceil$

$p(n) = p < 1$

$$F(n) = p + F(n-1)(1-p); \; F(0) = p$$

tem a solução

$$F(n) = P(N \le n) = 1- (1-p)^{n+1}$$

$p(n)$

Outros casos:

1. $p(n) = \frac{p}{n}; \; p<1; \;F(0) = p$ $$F(n) = 1 - \frac{(1-p)\Gamma( n + 1 -p)}{\Gamma( 1-p)\Gamma(n+1)}$$
2. $S(n) = 1-F(n)$ $$S(n) =\left(1 - p(n) \right) S(n-1)$$
3. $p(n)$$n$$p(n) = kn$$p>1$ $$p(n) = 1 - \frac{(1-p)}{n+1} \; p<1$$ $p(0) = p$$p(n)$ $$F(n) = 1 - \frac{ (1-p)^{n+1} }{ n! }$$ $S(n) = 1 - F(n) = \frac{ (1-p)^{n+1} }{ n! }$ $$\sum_{i=0}^{\infty} S(i) = E[N]$$ $$E[N] = (1-p)e^{(1-p) }$$