Momentos Centrais de Distribuições Simétricas

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Estou tentando mostrar que o momento central de uma distribuição simétrica: é zero para números ímpares. Então, por exemplo, o terceiro momento centralComecei tentando mostrar que {\ bf E [(Xu) ^ 3] = E [X ^ 3] -3uE [X ^ 2] + 3u ^ 2E [X] - u ^ 3}. Não sei para onde ir a partir daqui, alguma sugestão? Existe uma maneira melhor de provar isso?E [ ( X - u ) 3 ] = 0 . E [ ( X - u ) 3 ] = E [ X 3 ] - 3 u E [ X 2 ] + 3 u 2 .

fx(a+x)=fx(ax)
E[(Xu)3]=0.
E[(Xu)3]=E[X3]3uE[X2]+3u2E[X]u3.
user18262
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Dica: Para simplificar, assuma que f é simétrico em torno de 0 . Você pode então mostrar que E[X]=u=0 dividindo a integral entre (,0) e [0,) e usando a suposição de simetria. Então você só tem que mostrar que E[Xk]=0 para k=3,5,7,9,... . Isso pode ser feito novamente dividindo a integral e usando um argumento semelhante.
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Mas, sugestão , tenha cuidado com a sugestão do @ Procrastinator (+1)! Caso contrário, você pode "provar" algo falso! Você precisa mostrar que cada parte da integral dividida é finita. (Se um é, o outro também deve ser.) #
02213 cardeal
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Qual é a diferença entre a e u ?
Henry
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@DilipSarwate Por que você não captura todos esses pensamentos em uma resposta em vez de procurar minúcias em comentários que não pretendem ser respostas abrangentes?
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@ Macro: Uma pena, realmente. O procrastinador agora se junta a uma lista de vários colaboradores muito valiosos (na minha opinião) que aparentemente perdemos nos últimos meses (ou que reduziram severamente sua atividade). No lado positivo, é muito bom ver seu recente aumento na participação! Espero que continue.
cardeal

Respostas:

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Esta resposta tem como objetivo fazer uma demonstração o mais elementar possível, porque essas coisas frequentemente chegam à idéia essencial. Os únicos fatos necessários (além do tipo mais simples de manipulação algébrica) são a linearidade da integração (ou, equivalentemente, da expectativa), a fórmula de mudança de variáveis ​​para integrais e o resultado axiomático que um PDF integra à unidade.

Motivar esta demonstração é a intuição de que quando é simétrico em relação , a contribuição de qualquer quantidade para a expectativa terá o mesmo peso que a quantidade , porque e estão em lados opostos de e igualmente longe dele. Desde que para todo , tudo é cancelado e a expectativa deve ser zero. A relação entre e , então, é o nosso ponto de partida.fXaG(x)EX(G(X))G(2ax)x2axaG(x)=G(2ax)xx2ax


Observe, escrevendo , que a simetria também pode ser expressa pelo relacionamentoy=x+a

fX(y)=fX(2ay)

para todos . Para qualquer função mensurável , a alteração individual da variável de para altera para , enquanto inverte a direção da integração, implicandoyGx2axdxdx

EX(G(X))=G(x)fX(x)dx=G(x)fX(2ax)dx=G(2ax)fX(x)dx.

Supondo que essa expectativa exista (ou seja, a integral converge), a linearidade da integral implica

(G(x)G(2ax))fX(x)dx=0.

Considere os momentos ímpares de , que são definidos como as expectativas de , . Nesses casosaGk,a(X)=(Xa)kk=1,3,5,

Gk,a(x)Gk,a(2ax)=(xa)k(2axa)k=(xa)k(ax)k=(1k(1)k)(xa)k=2(xa)k,

precisamente porque é ímpar. A aplicação do resultado anterior fornecek

0=(Gk,a(x)Gk,a(2ax))fX(x)dx=2(xa)kfX(x)dx.

Como o lado direito é duas vezes o ésimo momento sobre , dividir por mostra que esse momento é zero sempre que existe.ka2

Finalmente, a média (supondo que exista) é

μX=EX(X)=xfX(x)dx=(2ax)fX(x)dx.

Mais uma vez explorando a linearidade e lembrando que porque é uma distribuição de probabilidade, podemos reorganizar a última igualdade para lerfX(x)dx=1fX

2μX=2xfX(x)dx=2afX(x)dx=2a×1=2a

com a solução exclusiva . Portanto, todos os nossos cálculos anteriores de momentos sobre são realmente os momentos centrais, QED.μX=aa


Postword

A necessidade de dividir por em vários lugares está relacionada ao fato de que há um grupo de ordem atuando nas funções mensuráveis ​​(ou seja, o grupo gerado pela reflexão na linha em torno de ). De um modo mais geral, a ideia de simetria pode ser generalizada para a ação de qualquer grupo. A teoria das representações de grupo implica que, quando o personagem2 a22adessa ação em uma função não é trivial, é ortogonal ao caracter trivial e isso significa que a expectativa da função deve ser zero. As relações de ortogonalidade envolvem adicionar (ou integrar) sobre o grupo, de onde o tamanho do grupo aparece constantemente nos denominadores: sua cardinalidade quando é finita ou seu volume quando é compacto.

A beleza dessa generalização se torna aparente em aplicações com simetria manifesta , como em equações mecânicas (ou mecânicas quânticas) de movimento de sistemas simétricos exemplificados por uma molécula de benzeno (que possui um grupo de simetria de 12 elementos). (O aplicativo QM é mais relevante aqui, porque calcula explicitamente as expectativas.) Valores de interesse físico - que geralmente envolvem integrais multidimensionais de tensores - podem ser calculados sem mais trabalho do que o envolvido aqui, simplesmente conhecendo os caracteres associados ao integrandos. Por exemplo, as "cores" de várias moléculas simétricas - seus espectros em vários comprimentos de onda - podem ser determinadas ab initio com essa abordagem.

whuber
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(+1) Na seção que começa com "Considere os momentos ímpares de ...", acredito que a terceira linha deve ler . = ( 1 k - ( - 1 ) k ) ( x - a ) ka=(1k(1)k)(xa)k
precisa saber é o seguinte
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@ Max Sim: Obrigado por ler com tanto cuidado! (Agora está corrigido.)
whuber