Estou tentando mostrar que o momento central de uma distribuição simétrica: é zero para números ímpares. Então, por exemplo, o terceiro momento centralComecei tentando mostrar que {\ bf E [(Xu) ^ 3] = E [X ^ 3] -3uE [X ^ 2] + 3u ^ 2E [X] - u ^ 3}. Não sei para onde ir a partir daqui, alguma sugestão? Existe uma maneira melhor de provar isso?E [ ( X - u ) 3 ] = 0 . E [ ( X - u ) 3 ] = E [ X 3 ] - 3 u E [ X 2 ] + 3 u 2 .
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Respostas:
Esta resposta tem como objetivo fazer uma demonstração o mais elementar possível, porque essas coisas frequentemente chegam à idéia essencial. Os únicos fatos necessários (além do tipo mais simples de manipulação algébrica) são a linearidade da integração (ou, equivalentemente, da expectativa), a fórmula de mudança de variáveis para integrais e o resultado axiomático que um PDF integra à unidade.
Motivar esta demonstração é a intuição de que quando é simétrico em relação , a contribuição de qualquer quantidade para a expectativa terá o mesmo peso que a quantidade , porque e estão em lados opostos de e igualmente longe dele. Desde que para todo , tudo é cancelado e a expectativa deve ser zero. A relação entre e , então, é o nosso ponto de partida.fX uma G ( x ) EX( G ( X) )) G ( 2 a - x ) x 2 a - x uma G(x)=−G(2a−x) x x 2a−x
Observe, escrevendo , que a simetria também pode ser expressa pelo relacionamentoy=x+a
para todos . Para qualquer função mensurável , a alteração individual da variável de para altera para , enquanto inverte a direção da integração, implicandoy G x 2a−x dx −dx
Supondo que essa expectativa exista (ou seja, a integral converge), a linearidade da integral implica
Considere os momentos ímpares de , que são definidos como as expectativas de , . Nesses casosa Gk,a(X)=(X−a)k k=1,3,5,…
precisamente porque é ímpar. A aplicação do resultado anterior fornecek
Como o lado direito é duas vezes o ésimo momento sobre , dividir por mostra que esse momento é zero sempre que existe.k a 2
Finalmente, a média (supondo que exista) é
Mais uma vez explorando a linearidade e lembrando que porque é uma distribuição de probabilidade, podemos reorganizar a última igualdade para ler∫fX(x)dx=1 fX
com a solução exclusiva . Portanto, todos os nossos cálculos anteriores de momentos sobre são realmente os momentos centrais, QED.μX=a a
Postword
A necessidade de dividir por em vários lugares está relacionada ao fato de que há um grupo de ordem atuando nas funções mensuráveis (ou seja, o grupo gerado pela reflexão na linha em torno de ). De um modo mais geral, a ideia de simetria pode ser generalizada para a ação de qualquer grupo. A teoria das representações de grupo implica que, quando o personagem2 a2 2 a dessa ação em uma função não é trivial, é ortogonal ao caracter trivial e isso significa que a expectativa da função deve ser zero. As relações de ortogonalidade envolvem adicionar (ou integrar) sobre o grupo, de onde o tamanho do grupo aparece constantemente nos denominadores: sua cardinalidade quando é finita ou seu volume quando é compacto.
A beleza dessa generalização se torna aparente em aplicações com simetria manifesta , como em equações mecânicas (ou mecânicas quânticas) de movimento de sistemas simétricos exemplificados por uma molécula de benzeno (que possui um grupo de simetria de 12 elementos). (O aplicativo QM é mais relevante aqui, porque calcula explicitamente as expectativas.) Valores de interesse físico - que geralmente envolvem integrais multidimensionais de tensores - podem ser calculados sem mais trabalho do que o envolvido aqui, simplesmente conhecendo os caracteres associados ao integrandos. Por exemplo, as "cores" de várias moléculas simétricas - seus espectros em vários comprimentos de onda - podem ser determinadas ab initio com essa abordagem.
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