Correção de viés na variância ponderada

Para variação não ponderada , existe a variação da amostra corrigida por viés, quando a média foi estimada a partir dos mesmos dados: Var(X):=

$$\text{Var}(X):=\frac{1}{n}\sum_i(x_i - \mu)^2$$ $$\text{Var}(X):=\frac{1}{n-1}\sum_i(x_i - E[X])^2$$

Estou analisando a média ponderada e a variação, e imaginando qual é a correção de viés apropriada para a variação ponderada. Usando:

$$\text{mean}(X):=\frac{1}{\sum_i \omega_i}\sum_i \omega_i x_i$$

A variação "ingênua" e não corrigida que estou usando é a seguinte:

$$\text{Var}(X):=\frac{1}{\sum_i \omega_i}\sum_i\omega_i(x_i - \text{mean}(X))^2$$

Então, eu estou me perguntando se a maneira correta de corrigir o viés é

A)

$$\text{Var}(X):=\frac{1}{\sum_i \omega_i - 1}\sum_i\omega_i(x_i - \text{mean}(X))^2$$

ou B)

$$\text{Var}(X):=\frac{n}{n-1}\frac{1}{\sum_i \omega_i}\sum_i\omega_i(x_i - \text{mean}(X))^2$$

ou C)

$$\text{Var}(X):=\frac{\sum_i \omega_i}{(\sum_i \omega_i)^2-\sum_i \omega_i^ 2}\sum_i\omega_i(x_i - \text{mean}(X))^2$$

A) não faz sentido para mim quando os pesos são pequenos. O valor da normalização pode ser 0 ou até negativo. Mas e quanto a B) ( é o número de observações) - essa é a abordagem correta? Você tem alguma referência que mostra isso? Eu acredito "Atualizando estimativas de média e variância: um método aprimorado", DHD West, 1979 usa isso. O terceiro, C) é a minha interpretação da resposta a esta pergunta: /mathpro/22203/unbiated-estimate-of-the-variance-of-an-unnormalised-weighted-mean$n$

Para C) acabei de perceber que o denominador se parece muito com . Existe alguma conexão geral aqui? Eu acho que não está totalmente alinhado; e obviamente existe a conexão que estamos tentando calcular a variação ...$\text{Var}(\Omega)$

Todos os três parecem "sobreviver" à verificação de sanidade de definir todos . Então, qual devo usar e em quais premissas? '' Update: '' whuber sugeriu também fazer a verificação de sanidade com e todos os restantes tiny. Isso parece excluir A e B.ω 1 = ω 2 = 0,5 ω i = $\omega_i=1$$\omega_1=\omega_2=.5$$\omega_i=\epsilon$

Passei pela matemática e acabei com a variante C:

$$Var(X) = \frac{(\sum_i \omega_i)^2}{(\sum_i \omega_i)^2 - \sum_i \omega_i^2}\overline V$$ $\overline V$$\omega_i$

$\lambda_i = \frac{\omega_i}{\sum_i \omega_i}$

$$\overline V = \sum_i \lambda_i (x_i - \sum_j \lambda_j x_j)^2$$

$$(x_i - \sum_j \lambda_j x_j)^2 = x_i^2 + \sum_{j, k} \lambda_j \lambda_k x_j x_k - 2 \sum_j \lambda_j x_i x_j$$

$E[x_i x_j] = Var(X)1_{i = j} + E[X]^2$$E[X]$

$$E[\overline V] = Var(X) \sum_i \lambda_i (1 + \sum_j \lambda_j^2- 2 \lambda_i )$$ $$E[\overline V] = Var(X) (1 - \sum_j \lambda_j^2)$$ $\lambda_i$$\omega_i$

Ambos A e C estão corretos, mas qual deles você usará depende de que tipo de pesos você usa:

• A precisa que você use pesos do tipo "repetir" (números inteiros contando o número de ocorrências para cada observação) e é imparcial .
• C precisa que você use pesos do tipo "confiabilidade" (pesos normalizados ou variações para cada observação) e é tendencioso . Não pode ser imparcial.

A razão pela qual C é necessariamente tendenciosa é porque, se você não usar pesos do tipo "repetir", perderá a capacidade de contar o número total de observações (tamanho da amostra) e, portanto, não poderá usar um fator de correção.

Para mais informações, consulte o artigo da Wikipedia que foi atualizado recentemente: http://en.wikipedia.org/wiki/Weighted_arithmetic_mean#Weighted_sample_variance