Quais são os limites de cauda conhecidos mais nítidos para as variáveis distribuídas

Deixe- ser uma variável aleatória qui-quadrado distribuído com graus de liberdade. Quais são os limites mais nítidos conhecidos para as seguintes probabilidades $X \sim \chi^2_k$ $k$

P [X > t] \leq 1 - δ_{1} (t, k)

$\mathbb{P}[X > t] \leq 1 - \delta_1(t, k)$

P [X < z] \leq 1 - δ_{2} (z, k)

$\mathbb{P}[X < z] \leq 1 - \delta_2(z, k)$

onde e são algumas funções. Ponteiros para documentos relevantes seriam apreciados. $\delta_1$ $\delta_2$

probability chi-squared mkolar
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Se você definir os deltas como funções gama incompletas complementares, obterá igualdades exatas. Obviamente, esses são os limites mais nítidos possíveis! Acho que o objetivo desta pergunta é que sua calculadora não calcula gama incompleta e você está procurando uma aproximação, mas isso ainda omite informações essenciais: como podemos responder a essa pergunta até sabermos o que sua calculadora pode calcular?

whuber

Não estou interessado em calcular um limite superior, mas em obter algo que eu possa controlar analiticamente. A resposta que robin forneceu é exatamente o que eu estava procurando. A questão é: existem limites mais precisos do que os fornecidos por Massart e Laurent?

Mkolar

As integrais gama podem ser "controladas analiticamente", então que distinção você está fazendo?

whuber

Respostas:

O limite mais agudo que conheço é o de Massart e Laurent Lemma 1, pág. 1325.

Um corolário de sua ligação é:

P (X - k \geq 2 \sqrt{k x} + 2 x) \leq \exp (- x)

$P(X-k\geq 2\sqrt{kx}+2x)\leq \exp (-x)$

P (k - X \geq 2 \sqrt{k x}) \leq \exp (- x)

$P(k-X\geq 2\sqrt{kx})\leq \exp (-x)$

Robin Girard
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a segunda desigualdade parece estar incorreta ou estou faltando alguma coisa?

Mkolar #

@mkolar sinto muito por isso, agora corrigido

robin Girard

Quais são os limites de cauda conhecidos mais nítidos para as variáveis ​​distribuídas

Respostas:

Quais são os limites de cauda conhecidos mais nítidos para as variáveis distribuídas