Se uma partida de tênis fosse um único conjunto grande, quantos jogos dariam a mesma precisão?

O tênis tem um sistema de pontuação peculiar de três níveis, e eu me pergunto se isso tem algum benefício estatístico, do ponto de vista de uma partida como um experimento para determinar o melhor jogador.

Para quem não conhece, nas regras normais, um jogo é ganho pelo primeiro a 4 pontos, desde que você tenha uma vantagem de 2 pontos (ou seja, se for 4-2 você ganha, mas 4-3 você precisa de mais 1 ponto, e mantenha até que um jogador esteja 2 à frente).

Um set é então uma coleção de jogos, e um set é ganho pelo primeiro para 6, tendo novamente que vencer por 2, exceto que desta vez um jogo especial de desempate é jogado em vez de continuar (exceto o conjunto final de Wimbledon etc.) ..)

A partida é vencida por 2 a 3 sets, dependendo da competição.

Agora, o tênis também é estranho, pois os jogos são injustos. Por qualquer ponto, o servidor tem uma enorme vantagem, portanto, a cada jogo o servidor se alterna.

Em um jogo de desempate, o saque alterna após cada ponto, e é o primeiro a 7 pontos, novamente com uma vantagem de 2 pontos.

Vamos supor que o jogador A tenha uma probabilidade de ganhar o ponto em seu saque de e ao receber .$p_s$$p_r$

A questão é esta, suponha que

A) acabou de jogar tênis como uma grande partida "melhor de N jogos", quantos jogos dariam a mesma precisão que o melhor jogo normal de 5 sets de tênis

B) apenas jogou tênis como um grande jogo de desempate, quantos pontos dariam a mesma precisão do melhor tênis normal de 5 sets?

Obviamente essas respostas dependerão das e próprios valores, por isso também seria bom saber$p_s$$p_r$

C) Qual é o número esperado de jogos e pontos disputados no tênis normal, assumindo constantes ,$p_s$$p_r$

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Definindo "precisão"

Se assumirmos que a habilidade de ambos os jogadores permanece constante, se eles jogaram por um período infinito de tempo, um ou outro jogador venceria quase com certeza, independentemente do formato do jogo. Este jogador é o vencedor "correto". Tenho certeza de que o vencedor correto é o jogador para quem .$p_r+p_s > 1$

Um melhor formato de jogo é aquele que produz o vencedor correto com mais frequência, para o mesmo número de pontos jogados, ou, inversamente, produz o vencedor correto com igual probabilidade em poucos pontos jogados.

Se você jogar com pontos, onde terá que vencer por 2 , poderá assumir que os jogadores jogam 6 pontos. Se nenhum jogador ganha por 2 , então o placar estiver empatado 3 - 3 , e então você jogar pares de pontos até que um jogador ganha tanto. Isso significa que a chance de ganhar um jogo com 4 pontos, quando sua chance de ganhar cada ponto é p , é$4$$2$$2$$3-3$$4$$p$

.

$$p^6 + 6p^5(1-p) + 15p^4(1-p)^2 + 20 p^3(1-p)^3 \frac{p^2}{p^2 + (1-p)^2}$$

No jogo masculino de nível superior, pode ser de cerca de 0,65 para o servidor. (Seria 0,66 se os homens não relaxassem no segundo saque.) De acordo com essa fórmula, a chance de manter o saque é de cerca de 82,96 % .$p$$0.65$$0.66$$82.96\%$

Suponha que você esteja jogando um desempate com pontos. Você pode assumir que os pontos são jogados em pares, onde cada jogador serve um de cada par. Quem serve primeiro não importa. Você pode assumir que os jogadores jogam 12 pontos. Se eles estão empatados nesse ponto, eles jogam par até que um jogador ganhe o par, o que significa que a chance condicional de vencer é p s p r / ( p s p r + ( 1 - p s ) ( 1 - p r ) ) . Se eu calcular corretamente, a chance de ganhar um desempate para $7$$12$$p_sp_r/(p_sp_r + (1-p_s)(1-p_r))$$7$ pontos é

$$6 p_r^6 ps + 90 p_r^5 p_s^2 - 105 p_r^6 p_s^2 + 300 p_r^4 p_s^3 - 840 p_r^5 p_s^3 + 560 p_r^6 p_s^3 + 300 p_r^3 p_s^4 - 1575 p_r^4 p_s^4 + 2520 p_r^5 p_s^4 - 1260 p_r^6 p_s^4 + 90 p_r^2 p_s^5 - 840 p_r^3 p_s^5 + 2520 p_r^4 p_s^5 - 3024 p_r^5 p_s^5 + 1260 p_r^6 p_s^5 + 6 p_r p_s^6 - 105 p_r^2 p_s^6 + 560 p_r^3 p_s^6 - 1260 p_r^4 p_s^6 + 1260 p_r^5 p_s^6 - 462 p_r^6 p_s^6 + \frac{p_r p_s}{p_r p_s + (1-p_r)(1-p_s)}(p_r^6 + 36 p_r^5 p_s - 42 p_r^6 p_s + 225 p_r^4 p_s^2 - 630 p_r^5 p_s^2 + 420 p_r^6 p_s^2 + 400 p_r^3 p_s^3 - 2100 p_r^4 p_s^3 + 3360 p_r^5 p_s^3 - 1680 p_r^6 p_s^3 + 225 p_r^2 p_s^4 - 2100 p_r^3 p_s^4 + 6300 p_r^4 p_s^4 - 7560 p_r^5 p_s^4 + 3150 p_r^6 p_s^4 + 36 p_r p_s^5 - 630 p_r^2 p_s^5 + 3360 p_r^3 p_s^5 - 7560 p_r^4 p_s^5 + 7560 p_r^5 p_s^5 - 2772 p_r^6 p_s^5 + p_s^6 - 42 p_r p_s^6 + 420 p_r^2 p_s^6 - 1680 p_r^3 p_s^6 + 3150 p_r^4 p_s^6 - 2772 p_r^5 p_s^6 + 924 p_r^6 p_s^6)$$

If $p_s=0.65, p_r=0.36$ then the chance to win the tie-breaker is about $51.67\%$.

Next, consider a set. It doesn't matter who serves first, which is convenient because otherwise we would have to consider winning the set while having the serve next versys winning the set without keeping the serve. To win a set to $6$ games, you can imagine that $10$ games are played first. If the score is tied $5-5$ then play $2$ more games. If those do not determine the winner, then play a tie-breaker, or in the fifth set just repeat playing pairs of games. Let $p_h$ be the probability of holding serve, and let $p_b$ be the probability of breaking your opponent's serve, which may be calculated above from the probability to win a game. The chance to win a set without a tiebreak follows the same basic formula as the chance to win a tie-breaker, except that we are playing to $6$ games instead of to $7$ points, and we replace $p_s$ by $p_h$ and $p_r$ by $p_b$.

The conditional chance to win a fifth set (a set with no tie-breaker) with $p_s=0.65$ and $p_r=0.36$ is $53.59\%$.

The chance to win a set with a tie-breaker with $p_s=0.65$ and $p_r=0.36$ is $53.30\%$.

The chance to win a best of $5$ sets match, with no tie-breaker in the fifth set, with $p_s=0.65$ and $p_r=0.36$ is $56.28\%$.

So, for these win rates, how many games would there have to be in one set for it to have the same discriminatory power? With $p_s=0.65, p_r=0.36$, you win a set to $24$ games with the usual tiebreaker $56.22\%$, and you win a set to $25$ game with a tie-breaker possible $56.34\%$ of the time. With no tie-breaker, the chance to win a normal match is between sets of length $23$ and $24$. If you simply play one big tie-breaker, the chance to win a tie-breaker of length $113$ is $56.27\%$ and of length $114$ is $56.29\%$.

This suggests that playing one giant set is not more efficient than a best of 5 matches, but playing one giant tie-breaker would be more efficient, at least for closely matched competitors who have an advantage serving.

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Here is an excerpt from my March 2013 GammonVillage column, "Game, Set, and Match." I considered coin flips with a fixed advantage ($51\%$) and asked whether it is more efficient to play one big match or a series of shorter matches:

... If a best of three is less efficient than a single long match, we might expect a best of five to be worse. You win a best of five $13$ point matches with probability $57.51\%$, very close to the chance to win a single match to $45$. The average number of matches in a best of five is $4.115$, so the average number of games is $4.115 \times 21.96 = 90.37$. Of course this is more than the maximum number of games possible in a match to $45$, and the average is $82.35$. It looks like a longer series of matches is even less efficient.

How about another level, a best of three series of best of three matches to $13$? Since each series would be like a match to $29$, this series of series would be like a best of three matches to $29$, only less efficient, and one long match would be better than that. So, one long match would be more efficient than a series of series.

What makes a series of matches less efficient than one long match? Consider these as statistical tests for collecting evidence to decide which player is stronger. In a best of three matches, you can lose a series with scores of $13-7 ~~ 12-13 ~~ 11-13$. This means you would win $36$ games to your opponent's $33$, but your opponent would win the series. If you toss a coin and get $36$ heads and $33$ tails, you have evidence that heads is more likely than tails, not that tails is more likely than heads. So, a best of three matches is inefficient because it wastes information. A series of matches requires more data on average because it sometimes awards victory to the player who has won fewer games.