Se uma partida de tênis fosse um único conjunto grande, quantos jogos dariam a mesma precisão?

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O tênis tem um sistema de pontuação peculiar de três níveis, e eu me pergunto se isso tem algum benefício estatístico, do ponto de vista de uma partida como um experimento para determinar o melhor jogador.

Para quem não conhece, nas regras normais, um jogo é ganho pelo primeiro a 4 pontos, desde que você tenha uma vantagem de 2 pontos (ou seja, se for 4-2 você ganha, mas 4-3 você precisa de mais 1 ponto, e mantenha até que um jogador esteja 2 à frente).

Um set é então uma coleção de jogos, e um set é ganho pelo primeiro para 6, tendo novamente que vencer por 2, exceto que desta vez um jogo especial de desempate é jogado em vez de continuar (exceto o conjunto final de Wimbledon etc.) ..)

A partida é vencida por 2 a 3 sets, dependendo da competição.

Agora, o tênis também é estranho, pois os jogos são injustos. Por qualquer ponto, o servidor tem uma enorme vantagem, portanto, a cada jogo o servidor se alterna.

Em um jogo de desempate, o saque alterna após cada ponto, e é o primeiro a 7 pontos, novamente com uma vantagem de 2 pontos.

Vamos supor que o jogador A tenha uma probabilidade de ganhar o ponto em seu saque de e ao receber .pspr

A questão é esta, suponha que

A) acabou de jogar tênis como uma grande partida "melhor de N jogos", quantos jogos dariam a mesma precisão que o melhor jogo normal de 5 sets de tênis

B) apenas jogou tênis como um grande jogo de desempate, quantos pontos dariam a mesma precisão do melhor tênis normal de 5 sets?

Obviamente essas respostas dependerão das e próprios valores, por isso também seria bom saberpspr

C) Qual é o número esperado de jogos e pontos disputados no tênis normal, assumindo constantes ,pspr


Definindo "precisão"

Se assumirmos que a habilidade de ambos os jogadores permanece constante, se eles jogaram por um período infinito de tempo, um ou outro jogador venceria quase com certeza, independentemente do formato do jogo. Este jogador é o vencedor "correto". Tenho certeza de que o vencedor correto é o jogador para quem .pr+ps>1

Um melhor formato de jogo é aquele que produz o vencedor correto com mais frequência, para o mesmo número de pontos jogados, ou, inversamente, produz o vencedor correto com igual probabilidade em poucos pontos jogados.

Corone
fonte
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Apenas o 5º set não tem um desempate no Wimbledon, no Aberto da Austrália e no Aberto da França. Os 4 primeiros sets são disputados com desempate.
precisa saber é
O que exatamente você quer dizer com "precisão"? Você quer dizer algo como "com que frequência o melhor jogador vencerá?" De qualquer forma, você precisa de quatro parâmetros, não dois; Necessita de e p r para cada jogador, embora p 1 s = 1 - P 2 R e vice-versa. Se algum jogador de clube joga com um jogador de classe mundial, então talvez p 1 s = 0,01 , p 1 r = 0,001 . Eu acho que a maneira mais fácil de descobrir isso seria através de algum método intensivo em computador. Você poderia imaginar analiticamente, mas os cálculos seriam intensos.psprp1s=1p2rp1s=.01p1r=.001
Peter Flom - Restabelece Monica
Eu estava pensando que a relação entre habilidade do jogador poderia ser deixada de fora, uma vez que apenas queremos uma comparação entre os métodos de medição. Ou seja, para qualquer partida dada se p s + p r > 1, em seguida, o jogador 1 deve vencer (ou seja, sua capacidade média de pontos excede 50%). Um torneio melhor consegue isso com mais frequência. ps/rps+pr>1
Corone 31/01
Por "mesma precisão" você quer dizer que a probabilidade global de um determinado jogador vencedor é o mesmo em qualquer formato (por tempo determinado e p r ?pspr
Michael McGowan

Respostas:

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Se você jogar com pontos, onde terá que vencer por 2 , poderá assumir que os jogadores jogam 6 pontos. Se nenhum jogador ganha por 2 , então o placar estiver empatado 3 - 3 , e então você jogar pares de pontos até que um jogador ganha tanto. Isso significa que a chance de ganhar um jogo com 4 pontos, quando sua chance de ganhar cada ponto é p , é422334p

.

p6+6p5(1p)+15p4(1p)2+20p3(1p)3p2p2+(1p)2

No jogo masculino de nível superior, pode ser de cerca de 0,65 para o servidor. (Seria 0,66 se os homens não relaxassem no segundo saque.) De acordo com essa fórmula, a chance de manter o saque é de cerca de 82,96 % .p0.650.6682.96%

Suponha que você esteja jogando um desempate com pontos. Você pode assumir que os pontos são jogados em pares, onde cada jogador serve um de cada par. Quem serve primeiro não importa. Você pode assumir que os jogadores jogam 12 pontos. Se eles estão empatados nesse ponto, eles jogam par até que um jogador ganhe o par, o que significa que a chance condicional de vencer é p s p r / ( p s p r + ( 1 - p s ) ( 1 - p r ) ) . Se eu calcular corretamente, a chance de ganhar um desempate para 7712pspr/(pspr+(1ps)(1pr))7 pontos é

6pr6ps+90pr5ps2105pr6ps2+300pr4ps3840pr5ps3+560pr6ps3+300pr3ps41575pr4ps4+2520pr5ps41260pr6ps4+90pr2ps5840pr3ps5+2520pr4ps53024pr5ps5+1260pr6ps5+6prps6105pr2ps6+560pr3ps61260pr4ps6+1260pr5ps6462pr6ps6+prpsprps+(1pr)(1ps)(pr6+36pr5ps42pr6ps+225pr4ps2630pr5ps2+420pr6ps2+400pr3ps32100pr4ps3+3360pr5ps31680pr6ps3+225pr2ps42100pr3ps4+6300pr4ps47560pr5ps4+3150pr6ps4+36prps5630pr2ps5+3360pr3ps57560pr4ps5+7560pr5ps52772pr6ps5+ps642prps6+420pr2ps61680pr3ps6+3150pr4ps62772pr5ps6+924pr6ps6)

If ps=0.65,pr=0.36 then the chance to win the tie-breaker is about 51.67%.

Next, consider a set. It doesn't matter who serves first, which is convenient because otherwise we would have to consider winning the set while having the serve next versys winning the set without keeping the serve. To win a set to 6 games, you can imagine that 10 games are played first. If the score is tied 55 then play 2 more games. If those do not determine the winner, then play a tie-breaker, or in the fifth set just repeat playing pairs of games. Let ph be the probability of holding serve, and let pb be the probability of breaking your opponent's serve, which may be calculated above from the probability to win a game. The chance to win a set without a tiebreak follows the same basic formula as the chance to win a tie-breaker, except that we are playing to 6 games instead of to 7 points, and we replace ps by ph and pr by pb.

The conditional chance to win a fifth set (a set with no tie-breaker) with ps=0.65 and pr=0.36 is 53.59%.

The chance to win a set with a tie-breaker with ps=0.65 and pr=0.36 is 53.30%.

The chance to win a best of 5 sets match, with no tie-breaker in the fifth set, with ps=0.65 and pr=0.36 is 56.28%.

So, for these win rates, how many games would there have to be in one set for it to have the same discriminatory power? With ps=0.65,pr=0.36, you win a set to 24 games with the usual tiebreaker 56.22%, and you win a set to 25 game with a tie-breaker possible 56.34% of the time. With no tie-breaker, the chance to win a normal match is between sets of length 23 and 24. If you simply play one big tie-breaker, the chance to win a tie-breaker of length 113 is 56.27% and of length 114 is 56.29%.

This suggests that playing one giant set is not more efficient than a best of 5 matches, but playing one giant tie-breaker would be more efficient, at least for closely matched competitors who have an advantage serving.


Here is an excerpt from my March 2013 GammonVillage column, "Game, Set, and Match." I considered coin flips with a fixed advantage (51%) and asked whether it is more efficient to play one big match or a series of shorter matches:

... If a best of three is less efficient than a single long match, we might expect a best of five to be worse. You win a best of five 13 point matches with probability 57.51%, very close to the chance to win a single match to 45. The average number of matches in a best of five is 4.115, so the average number of games is 4.115×21.96=90.37. Of course this is more than the maximum number of games possible in a match to 45, and the average is 82.35. It looks like a longer series of matches is even less efficient.

How about another level, a best of three series of best of three matches to 13? Since each series would be like a match to 29, this series of series would be like a best of three matches to 29, only less efficient, and one long match would be better than that. So, one long match would be more efficient than a series of series.

What makes a series of matches less efficient than one long match? Consider these as statistical tests for collecting evidence to decide which player is stronger. In a best of three matches, you can lose a series with scores of 137  1213  1113. This means you would win 36 games to your opponent's 33, but your opponent would win the series. If you toss a coin and get 36 heads and 33 tails, you have evidence that heads is more likely than tails, not that tails is more likely than heads. So, a best of three matches is inefficient because it wastes information. A series of matches requires more data on average because it sometimes awards victory to the player who has won fewer games.

Douglas Zare
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Absolutely incredible! Is there a badge for largest ever latex expression? I don't understand the conclusion though - surely 25 games is less than is usually played? If it goes to thr fifth set you play at least 30 games, and even a 6:4 6:4 6:4 win is 30 games?
Corone
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The set to 25 games means you might win by a score of 2520 which would be 45 games.
Douglas Zare
Ah yes, sorry, makes sense. Great answer.
Corone
Na-ah, who cares about long LATEXs... if Douglas were to provide a pretty contour plot with probabilities and such, THAT would've been cool ;).
StasK
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This article has some analysis of tie-breakers, and whether they favor stronger servers: heavytopspin.com/2012/10/30/the-structural-biases-of-tiebreaks
Douglas Zare