Tamanho de um teste e nível de significância

Suponha que você tenha uma amostra aleatória de uma distribuição que envolva um parâmetro que assume valores em um espaço de parâmetro . Você particiona o espaço do parâmetro como e deseja testar as hipóteses chamadas de nulas e hipóteses alternativas , respectivamente. $X_1,\dots,X_n$ $\theta$ $\Theta$ $\Theta=\Theta_0\cup\Theta_1$

H_{0} : θ \in Θ_{0},

$H_0 : \theta \in \Theta_0 \, ,$

H_{1} : θ \in Θ_{1},

$H_1 : \theta \in \Theta_1 \, ,$

Vamos denotar o espaço de amostra de todos os valores possíveis do vetor aleatório . Seu objetivo na criação de um procedimento de teste é particionar esse espaço de amostra em duas partes: a região crítica , contendo os valores de para os quais você rejeitará a hipótese nula (e, portanto, aceite a alternativa ) e a região de aceitação , contendo os valores de para os quais você não rejeitará a hipótese nula (e, portanto, rejeitará a alternativa ). $\mathscr{X}$ $X=(X_1,\dots,X_n)$ $\mathscr{X}$ $\mathscr{C}$ $X$ $H_0$ $H_1$ $\mathscr{A}$ $X$ $H_0$ $H_1$

Formalmente, um procedimento de teste pode ser descrito como uma função mensurável , com a interpretação óbvia em termos das decisões tomadas em favor de cada uma das hipóteses. A região crítica é e a região de aceitação é . $\varphi:\mathscr{X}\to\{0,1\}$ $\mathscr{C}=\varphi^{-1}(\{1\})$ $\mathscr{A}=\varphi^{-1}(\{0\})$

Para cada procedimento de teste , definimos sua função de potência por Em palavras, fornece a probabilidade de rejeitar quando o valor do parâmetro é . $\varphi$ $\pi_\varphi:\Theta\to[0,1]$

π_{φ} (θ) = Pr (φ (X) = 1 ∣ θ) = Pr (X \in C ∣ θ) .

$\pi_\varphi(\theta) = \Pr(\varphi(X)=1\mid\theta) = \Pr(X\in\mathscr{C}\mid\theta) \, .$

π_{φ} (θ)

$\pi_\varphi(\theta)$

H_{0}

$H_0$

θ

$\theta$

A decisão de rejeitar quando estiver incorreta . Portanto, para um determinado problema, considere apenas os procedimentos de teste para os quais , para cada , em que está em algum nível de significância ( ). Observe que o nível de significância é uma propriedade de uma classe de procedimentos de teste. Podemos descrever essa classe precisamente como $H_0$ $\theta\in\Theta_0$ $\varphi$ $\pi_\varphi(\theta)\leq\alpha$ $\theta\in\Theta_0$ $\alpha$ $0<\alpha<1$

T_{α} = {φ \in {0, 1}^{X} : π_{φ} (θ) \leq α, for every θ \in Θ_{0}} .

$\mathscr{T}_{\alpha} = \left\{ \varphi\in\{0,1\}^\mathscr{X} : \pi_\varphi(\theta)\leq\alpha, \textrm{for every}\; \theta\in\Theta_0\right\} \, .$

Para cada procedimento de teste individual , a probabilidade máxima de rejeitar incorretamente é chamada de tamanho do procedimento de teste . $\varphi$ $\alpha_\varphi=\sup_{\theta\in\Theta_0}\pi_\varphi(\theta)$ $H_0$ $\varphi$

Segue-se diretamente dessas definições que, uma vez estabelecido o nível de significância e, portanto, determinado a classe de procedimentos de teste aceitáveis, cada procedimento de teste nessa classe terá tamanho e vice-versa. Concisa, se e somente se . $\alpha$ $\mathscr{T}_{\alpha}$ $\varphi$ $\alpha_\varphi\leq\alpha$ $\varphi\in\mathscr{T}_{\alpha}$ $\alpha_\varphi\leq\alpha$

zen
fonte

Uau. Obrigado por todo o esforço que você investiu nesta resposta.

asb

Eu vim aqui para aprender sobre tamanho x nível e deixei entender melhor o teste de hipóteses. Excelente combinação de intuição e notação.

gwg

Tamanho de um teste e nível de significância

Respostas: