Variação de poderes de uma variável aleatória

É possível derivar uma fórmula para variação de potências de uma variável aleatória em termos de valor esperado e variação de X? e

var (X^{n}) = ?

$\operatorname{var}(X^n)= \,?$

E (X^{n}) = ?

$E(X^n)=\,?$

variance expected-value damla
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Você tem uma distribuição específica em mente? Para obter uma solução, você precisa de alguma restrição. Se existisse alguma fórmula geral, haveria notavelmente poucas distribuições: essa fórmula determinaria todos os momentos superiores e, portanto, todas as distribuições poderiam ser parametrizadas pela expectativa e variação, o que claramente não é o caso.

whuber

Eu não tenho nenhuma restrição. A versão independente e mais geral desse problema é resolvida neste link: stats.stackexchange.com/questions/52646/… Então, eu estou imaginando se podemos derivar uma equação geral para essa também. Em outras palavras, estou tentando encontrar

onde

v a r (X_{1} X_{2} \dots X_{n}) = ?

${\rm var}(X_1X_2 \cdots X_n)= \ ?$

X_{1} = X_{2} = \dots = X_{n} = X

$X_1=X_2=⋯=X_n=X$

damla 26/03

Sim: sua diferença é a variância e a variância, como soma dos quadrados, não pode ser negativa.

whuber

Stéphane Laurent Não vejo onde é feita tal afirmação, mas, para deixar claro, não mantive tal coisa.

whuber

@Bastiaan

;

para distribuições normais está disponível aqui .

V a r (X^{n}) = E [X^{2 n}] - E [X^{n}]^{2}

$\mathrm{Var}(X^n) = \mathbb{E}[X^{2n}] - \mathbb{E}[X^n]^2$

E [X^{n}]

$\mathbb{E}[X^n]$

Dougal

Respostas:

se você tiver a função de geração de momento para a distribuição X, poderá calcular o valor esperado de usando $X^n$ e avaliando-o em. $\frac{d^n}{dt^n} MGF(x)$ $t=0$

Nick Lim
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Você pode explicar como isso pode ajudar a encontrar

Var (X^{n})

$\operatorname{Var}(X^n)$

Silverfish

O comentário de @Silverfish Dougal sobre a questão principal, postado apenas três minutos antes do seu comentário acima, responde sua pergunta completamente.

precisa saber é o seguinte