Variação de uma função de uma variável aleatória

33

Digamos que temos a variável aleatória com variação e média conhecidas. A questão é: qual é a variação de para alguma função dada f. O único método geral que eu conheço é o método delta, mas fornece apenas uma aproximação. Agora estou interessado em , mas também seria bom conhecer alguns métodos gerais.Xf(X)f(x)=x

Editar 29.12.2010
Eu fiz alguns cálculos usando a série Taylor, mas não tenho certeza se eles estão corretos, por isso ficaria feliz se alguém pudesse confirmá- los.

Primeiro, precisamos aproximar E[f(X)]
E[f(X)]E[f(μ)+f(μ)(Xμ)+12f(μ)(Xμ)2]=f(μ)+12f(μ)Var[X]

Agora podemos aproximar D2[f(X)]
E[(f(X)-E[f(X)])2]E[(f(μ)+f(μ)(X-μ)+12f(μ)(X-μ)2-E[f(X)])2]

Usando a aproximação de E[f(X)] , sabemos que f(μ)-Ef(x)-12f(μ)Vumar[X]

Usando isso, obtemos:
D2[f(X)]1D2[f(X)]14f(μ)2Var[X]212f(μ)2Var[X]2+f(μ)2Var[X]+14f(μ)2E[(Xμ)4]+12f(μ)f(μ)E[(Xμ)3]
D2[f(X)]14f(μ)2[D4X(D2X)2]+f(μ)D2X+12f(μ)f(μ)D3X

Tomek Tarczynski
fonte
O método Delta é usado para distribuições assintóticas. Você não pode usar quando você possui apenas uma variável aleatória.
Mvctas
@mpiktas: Na verdade, eu não sei muito sobre o método Delta, acabei de ler algo na wikipedia. Esta é uma citação da wiki: "O método delta usa expansões de Taylor de segunda ordem para aproximar a variação de uma função de uma ou mais variáveis ​​aleatórias".
Tomek Tarczynski
parece que a wikipedia tem exatamente o que você deseja: en.wikipedia.org/wiki/… . Reeditarei minha resposta, parece que subestimei a expansão de Taylor.
mpiktas
Tomek, se você não concorda com as edições que foram feitas (não por mim), sempre pode alterá-las novamente ou revertê-las, ou apenas apontar as diferenças e pedir esclarecimentos.
Glen_b -Reinstate Monica
2
@Glen_b: Eu de acordo com eles E (X-mu) = 0 não implyt que E [(X-mu) ^ 3] = 0.
Tomek Tarczynski

Respostas:

33

Atualizar

Eu subestimei expansões de Taylor. Eles realmente funcionam. Eu assumi que a integral do termo restante pode ser ilimitada, mas com um pouco de trabalho, podemos mostrar que esse não é o caso.

A expansão de Taylor trabalha para funções em intervalo fechado limitado. Para variáveis ​​aleatórias com variância finita, a desigualdade de Chebyshev fornece

P(|X-EX|>c)Vumar(X)c

Portanto, para qualquer , podemos encontrar suficientemente grande para quecε>0 0c

P(X[EX-c,EX+c])=P(|X-EX|c)<1-ε

Primeiro vamos estimar . Temos em que é a função de distribuição para .E f ( X ) = | x - E X | c f ( x ) d F ( x ) + | x - E X | > c f ( x ) d F ( x ) F ( x ) XEf(X)

Ef(X)=|xEX|cf(x)dF(x)+|xEX|>cf(x)dF(x)
F(x)X

Como o domínio da primeira integral é o intervalo que é um intervalo fechado limitado, podemos aplicar a expansão de Taylor: onde , e a igualdade vale para todos os . Tomei apenas 4 termos na expansão de Taylor, mas, em geral, podemos pegar quantos quisermos, desde que a função seja suave o suficiente.f ( x ) = f ( E X ) + f ( E X ) ( x - E X ) + f ( E X )[EXc,EX+c]α[EX-c,EX+c]x[EX-c,EX+c]f

f(x)=f(EX)+f(EX)(xEX)+f(EX)2(xEX)2+f(α)3(xEX)3
α[EXc,EX+c]x[EXc,EX+c]f

Substituindo esta fórmula pela anterior, obtemos

Ef(X)=|xEX|cf(EX)+f(EX)(xEX)+f(EX)2(xEX)2dF(x)+|xEX|cf(α)3(xEX)3dF(x)+|xEX|>cf(x)dF(x)
Agora podemos aumentar o domínio da integração para obter a seguinte fórmula

Ef(X)=f(EX)+f(EX)2E(XEX)2+R3
onde Agora, sob algumas condições momentâneas, podemos mostrar que o segundo termo desse termo restante é tão grande quanto que é pequeno. Infelizmente, o primeiro termo permanece e, portanto, a qualidade da aproximação depende de e do comportamento da terceira derivada de em intervalos limitados. Essa aproximação deve funcionar melhor para variáveis ​​aleatórias com .
R3=f(α)3E(XEX)3++|xEX|>c(f(EX)+f(EX)(xEX)+f(EX)2(xEX)2+f(X))dF(x)
P(|XEX|>c)E(XEX)3fE(XEX)3=0

Agora, para a variação, podemos usar a aproximação de Taylor para , subtrair a fórmula para e quadrar a diferença. Entãof(x)Ef(x)

E(f(x)Ef(x))2=(f(EX))2Var(X)+T3

onde envolve os momentos para . Também podemos chegar a essa fórmula usando apenas a expansão de Taylor de primeira ordem, ou seja, usando apenas a primeira e a segunda derivadas. O termo do erro seria semelhante.T3E(XEX)kk=4,5,6

Outra maneira é expandir : f2(x)

f2(x)=f2(EX)+2f(EX)f(EX)(xEX)+[(f(EX))2+f(EX)f(EX)](XEX)2+(f2(β))3(XEX)3

Da mesma forma, obtemos então que é semelhante ao .

Ef2(x)=f2(EX)+[(f(EX))2+f(EX)f(EX)]Var(X)+R~3
R~3R3

A fórmula da variância se torna onde tem apenas terceiros momentos e acima.

Var(f(X))=[f(EX)]2Var(X)[f(EX)]24Var2(X)+T~3
T~3
mpiktas
fonte
Eu não preciso saber o valor exato da variação, a aproximação deve funcionar para mim.
Tomek Tarczynski
De fato, a fórmula aproximada para no OP é frequentemente usada na análise de risco em economia, finanças e seguros. E[f(X)]
Raskolnikov
@Raskolnikov, sim, mas contradiz meu conhecimento admitavelmente obsoleto da expansão de Taylor. Claramente, o termo restante deve ser levado em consideração. Se a variável aleatória estiver delimitada, não há problema, pois os polinômios aproximam funções contínuas no intervalo delimitado uniformemente. Mas lidamos com variáveis ​​aleatórias ilimitadas. É claro que, para o normal aleatório, podemos dizer que ele é efetivamente limitado, mas ainda em geral, algumas surpresas desagradáveis ​​podem surgir ou não. Vou consertar minha resposta quando tiver a resposta clara.
mpiktas
2
@Tomek Tarczynski, o terceiro derivado de chega a zero rapidamente para o grande , mas é ilimitado perto de zero. Portanto, se você escolher uma distribuição uniforme com suporte próximo de zero, o prazo restante poderá aumentar. xx
Mvctas
1
Observe que no seu link a igualdade é aproximada. Nesta resposta, todas as equações são exatas. Além disso, para a variação, observe que o primeiro derivado é estimado no , e não . Também nunca afirmei que isso não funcionará para , apenas que para a fórmula aproximada pode ter um erro enorme se o domínio estiver próximo de zero. EXxxxX
mpiktas
8

Conhecer os dois primeiros momentos de X (média e variância) não é suficiente, se a função f (x) for arbitrária (não linear). Não apenas para calcular a variação da variável transformada Y, mas também para sua média. Para ver isso - e talvez atacar seu problema -, você pode supor que sua função de transformação tenha uma expansão de Taylor em torno da média de X e trabalhe a partir daí.

leonbloy
fonte