Digamos que temos a variável aleatória com variação e média conhecidas. A questão é: qual é a variação de para alguma função dada f. O único método geral que eu conheço é o método delta, mas fornece apenas uma aproximação. Agora estou interessado em , mas também seria bom conhecer alguns métodos gerais.
Editar 29.12.2010
Eu fiz alguns cálculos usando a série Taylor, mas não tenho certeza se eles estão corretos, por isso ficaria feliz se alguém pudesse confirmá- los.
Primeiro, precisamos aproximar
Agora podemos aproximar
Usando a aproximação de , sabemos que
Usando isso, obtemos:
D2[f(X)]≈1
variance
random-variable
delta-method
Tomek Tarczynski
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Respostas:
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Eu subestimei expansões de Taylor. Eles realmente funcionam. Eu assumi que a integral do termo restante pode ser ilimitada, mas com um pouco de trabalho, podemos mostrar que esse não é o caso.
A expansão de Taylor trabalha para funções em intervalo fechado limitado. Para variáveis aleatórias com variância finita, a desigualdade de Chebyshev fornece
Portanto, para qualquer , podemos encontrar suficientemente grande para quecε > 0 c
Primeiro vamos estimar . Temos em que é a função de distribuição para .E f ( X ) = ∫ | x - E X | ≤ c f ( x ) d F ( x ) + ∫ | x - E X | > c f ( x ) d F ( x ) F ( x ) XEf( X)
Como o domínio da primeira integral é o intervalo que é um intervalo fechado limitado, podemos aplicar a expansão de Taylor: onde , e a igualdade vale para todos os . Tomei apenas 4 termos na expansão de Taylor, mas, em geral, podemos pegar quantos quisermos, desde que a função seja suave o suficiente.f ( x ) = f ( E X ) + f ′ ( E X ) ( x - E X ) + f ″ ( E X )[EX−c,EX+c] α∈[EX-c,EX+c]x∈[EX-c,EX+c]f
Substituindo esta fórmula pela anterior, obtemos
Agora, para a variação, podemos usar a aproximação de Taylor para , subtrair a fórmula para e quadrar a diferença. Entãof(x) Ef(x)
onde envolve os momentos para . Também podemos chegar a essa fórmula usando apenas a expansão de Taylor de primeira ordem, ou seja, usando apenas a primeira e a segunda derivadas. O termo do erro seria semelhante.T3 E(X−EX)k k=4,5,6
Outra maneira é expandir :f2(x)
Da mesma forma, obtemos então que é semelhante ao .
A fórmula da variância se torna onde tem apenas terceiros momentos e acima.
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Conhecer os dois primeiros momentos de X (média e variância) não é suficiente, se a função f (x) for arbitrária (não linear). Não apenas para calcular a variação da variável transformada Y, mas também para sua média. Para ver isso - e talvez atacar seu problema -, você pode supor que sua função de transformação tenha uma expansão de Taylor em torno da média de X e trabalhe a partir daí.
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