Algumas distribuições têm anteriores conjugados e outras não. Essa distinção é apenas um acidente? Ou seja, você faz as contas e funciona de uma maneira ou de outra, mas na verdade não diz nada de importante sobre a distribuição, exceto o fato em si?
Ou a presença ou ausência de um conjugado anterior reflete alguma propriedade mais profunda de uma distribuição? As distribuições com anteriores conjugados compartilham outras propriedades ou propriedades interessantes que faltam a outras distribuições que fazem com que essas distribuições, e não as outras, tenham um conjugado anterior?
Respostas:
Não é por acaso. Aqui você encontrará uma breve resenha muito boa sobre os anteriores conjugados. Concretamente, ele menciona que, se existir um conjunto de estatísticas suficientes da dimensão fixada para a função de probabilidade fornecida, você poderá construir um conjugado antes. Ter um conjunto de estatísticas suficientes significa que você pode fatorar a probabilidade de uma forma que permita estimar os parâmetros de uma maneira computacional eficiente.
Além disso, ter antecedentes conjugados não é apenas computacionalmente conveniente. Ele também fornece suavização e permite trabalhar com muito poucas amostras ou sem amostras anteriores, o que é necessário para problemas como tomada de decisão, nos casos em que você tem muito pouca evidência.
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Sou muito novo nas estatísticas bayesianas, mas parece-me que todas essas distribuições (e se não todas , pelo menos aquelas que são úteis) compartilham a propriedade descrita por alguma métrica limitada sobre as observações que as definem. . Ou seja, para uma distribuição normal, você não precisa conhecer todos os detalhes de cada observação, apenas sua contagem e soma total.
Dito de outra forma, supondo que você já conheça a classe / família de distribuição, a distribuição terá entropia estritamente menor de informações do que as observações que resultaram nela.
Parece trivial ou é o que você está procurando?
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Quais propriedades são "profundas" é uma questão muito subjetiva! então a resposta depende do seu conceito de "profundo". Mas, se ter antecedentes conjugados é uma propriedade "profunda", em certo sentido, esse sentido é matemático e não estatístico. A única razão pela qual (alguns) estatísticos estão interessados em conjugados anteriores é que eles simplificam alguns cálculos. Mas isso é menos importante para cada dia que passa!
Assim, resumindo, as famílias conjugadas usuais em famílias exponenciais podem ser justificadas como anteriores que levam a métodos lineares ou como anteriores que representam dados anteriores. Espero que esta resposta estendida ajude!
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