Suponha que e sejam função de densidade e função de distribuição da distribuição normal padrão.
Como se pode calcular a integral:
Suponha que e sejam função de densidade e função de distribuição da distribuição normal padrão.
Como se pode calcular a integral:
Respostas:
Uma notação mais convencional é
Isso pode ser encontrado diferenciando a integral em relação a e , produzindo integrais elementares que podem ser expressas em forma fechada:μ σ
Este sistema pode ser integrado, começando com a condição inicial = = , para obter a solução fornecida (que é facilmente verificada por diferenciação).∫ & Phi; ( x ) φ ( x ) d x 1 / 2y( 0 , 1 ) ∫Φ ( x ) ϕ ( x ) dx 1 / 2
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Sejam e Y variáveis aleatórias normais independentes com X ∼ N ( a , b 2 ) e Y uma variável aleatória normal padrão. Então, P { X ≤ Y ∣ Y = w } = P { X ≤ w } = Φ ( w - aX Y X∼N(a,b2) Y Então, usando a lei da probabilidade total, temos que
P{X≤Y}=∫ ∞ - ∞ P{X≤Y|Y=w}φ(w)
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Aqui está outra solução: DefinimosI(γ)=∫∞−∞Φ(ξx+γ)N(x|0,σ2)dx, γ=−ξμ I(γ) I(0)=0 γ
dIdγ=∫∞−∞N((ξx+γ)|0,1)N(x|0,σ2)dx=∫∞−∞12π−−√exp(−12(ξx+γ)2)12πσ2−−−−√exp(−x22σ2)dx. (ξx+γ)2+x2σ2=(ξ2+σ−2)=ax2+−2γξ=bx+γ2=c=a(x−b2a)2+(c−b24a)(c−b24a)=γ2−4γ2ξ24(ξ2+σ−2)=γ2(1−ξ2ξ2+σ−2)=γ2(11+ξ2σ2) dIdγ=12πσexp(−12(c−b24a))2πa−−−√∫∞−∞a2π−−−√exp(−12a(x−b2a)2)dx=12πσexp(−12(c−b24a))2πa−−−√=12πσ2a−−−−−√exp(−12(c−b24a))=12π(1+σ2ξ2)−−−−−−−−−−−√exp(−12γ21+ξ2σ2)
que implica
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