Como posso calcular

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Suponha que e sejam função de densidade e função de distribuição da distribuição normal padrão.ϕ()Φ()

Como se pode calcular a integral:

Φ(wab)ϕ(w)dw
hadisanji
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Está tudo bem. Uma referência inicial a um resultado mais geral que inclui esse é Ellison (1964, J.Am.Stat.Assoc, 59, 89-95); veja Corolário 1 do Teorema 2.

Respostas:

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Uma notação mais convencional é

y(μ,σ)=Φ(xμσ)ϕ(x)dx=Φ(μ1+σ2).

Isso pode ser encontrado diferenciando a integral em relação a e , produzindo integrais elementares que podem ser expressas em forma fechada:μσ

yμ(μ,σ)=12πσ2+1e12μ2σ2+1,

yσ(μ,σ)=μσ2π(σ2+1)3/2e12μ2σ2+1.

Este sistema pode ser integrado, começando com a condição inicial = = , para obter a solução fornecida (que é facilmente verificada por diferenciação).& Phi; ( x ) φ ( x ) d x 1 / 2y(0,1)Φ(x)ϕ(x)dx1/2

whuber
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Verifiquei a resposta duas vezes por meio de integração numérica e contornando as proporções de , : o acordo foi de onze números significativos em todo esse intervalo. 0 < σ 22μ20<σ2
whuber
uau, solução inteligente.
Cam.Davidson.Pilon
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Eu acho que isso pode ser feito quase por inspeção. O primeiro termo sob a integral é uma variável aleatória uniforme [0,1]. Como o pdf normal é simétrico, a integral deve ser 12
soakley 06/06
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@soakley Sua abordagem funciona para , mas não está claro como isso se aplicaria a outros argumentos de y . y(0,1)y
whuber
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@whuber Desculpe por não entender, mas depois de termos as duas formas fechadas para a derivada e a condição inicial, como vamos daí para a solução final? Em outras palavras, o que você fez com as expressões de formulário fechado para derivadas e a condição inicial?
user106860
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Sejam e Y variáveis ​​aleatórias normais independentes com X N ( a , b 2 ) e Y uma variável aleatória normal padrão. Então, P { X Y Y = w } = P { X w } = Φ ( w - aXYXN(a,b2)YEntão, usando a lei da probabilidade total, temos que P{XY}=- P{XY|Y=w}φ(w)

P{XYY=w}=P{Xw}=Φ(wab).
Agora, P { X Y } = P { X - Y 0 } pode ser expresso em termos de Φ ( ) observando que X - Y N ( a , b 2 + 1 ) e, portanto, obtemos - Φ ( w - a
P{XY}=P{XYY=w}ϕ(w)dw=Φ(wab)ϕ(w)dw.
P{XY}=P{XY0}Φ()XYN(a,b2+1) que é o mesmo que o resultado na resposta do whuber.
Φ(wab)ϕ(w)dw=Φ(ab2+1)
Dilip Sarwate
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Aqui está outra solução: Definimos

I(γ)=Φ(ξx+γ)N(x|0,σ2)dx,
γ=ξμI(γ)I(0)=0γ
dIdγ=N((ξx+γ)|0,1)N(x|0,σ2)dx=12πexp(12(ξx+γ)2)12πσ2exp(x22σ2)dx.
(ξx+γ)2+x2σ2=(ξ2+σ2)=ax2+2γξ=bx+γ2=c=a(xb2a)2+(cb24a)(cb24a)=γ24γ2ξ24(ξ2+σ2)=γ2(1ξ2ξ2+σ2)=γ2(11+ξ2σ2)
dIdγ=12πσexp(12(cb24a))2πaa2πexp(12a(xb2a)2)dx=12πσexp(12(cb24a))2πa=12πσ2aexp(12(cb24a))=12π(1+σ2ξ2)exp(12γ21+ξ2σ2)

I(γ)=γ12π(1+σ2ξ2)exp(12z21+ξ2σ2)dz=Φ(γ1+ξ2σ2)

que implica

Φ(ξx)N(x|μ,σ2)dx=I(ξμ)=Φ(ξμ1+ξ2σ2).

Jenny Reininger
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