Método Z-score de Stouffer: e se somarmos

Estou executando $N$ testes estatísticos independentes com a mesma hipótese nula e gostaria de combinar os resultados em um valor $p$ . Parece que existem dois métodos "aceitos": o método de Fisher e o método de Stouffer .

Minha pergunta é sobre o método de Stouffer. Para cada teste separado, obtenho um z-score $z_i$ . Sob uma hipótese nula, cada um deles é distribuída com uma distribuição normal padrão, de modo que a soma $\Sigma z_i$ segue uma distribuição normal com variância $N$ . Portanto, o método de Stouffer sugere calcular $\Sigma z_i / \sqrt{N}$ , que deve ser normalmente distribuído com variação de unidade e, em seguida, use-o como um escore z conjunto.

Isso é razoável, mas aqui está outra abordagem que eu criei e que também me parece razoável. Como cada um dos $z_i$ trata de uma distribuição normal padrão, a soma dos quadrados $S=\Sigma z^2_i$ deve vir de uma distribuição do Qui-quadrado com $N$ graus de liberdade. Assim, pode-se calcular $S$ e convertê-lo em um valor $p$ usando a função de distribuição qui-quadrado cumulativa com $N$ graus de liberdade ( $p=1−X_N(S)$ , onde $X_N$ é o CDF).

No entanto, em nenhum lugar posso encontrar essa abordagem sequer mencionada. É alguma vez usado? Isso tem um nome? Quais seriam as vantagens / desvantagens em comparação com o método de Stouffer? Ou existe uma falha no meu raciocínio?

Uma falha que salta para fora é o método de Stouffer pode detectar mudanças sistemáticas na , que é o que se costuma esperar que aconteça quando uma alternativa é sempre verdadeira, ao passo que o método qui-quadrado parece ter menos energia para fazê-lo. Uma simulação rápida mostra que esse é o caso; o método qui-quadrado é menos poderoso para detectar uma alternativa unilateral. Aqui estão histogramas dos valores de p pelos dois métodos (vermelho = Stouffer, azul = qui-quadrado) para 10 5 iterações independentes com N = 10 e vários efeitos padronizados unilaterais μ variando de nenhum ( μ = 0 ) a 0,6 DP ( μ $z_i$$10^5$$N=10$$\mu$$\mu=0$$0.6$ ).$\mu=0.6$

O melhor procedimento terá mais área próxima de zero. Para todos os valores positivos de mostrados, esse procedimento é o procedimento Stouffer.$\mu$

Código R

Isso inclui o método de Fisher (comentado) para comparação.

n <- 10
n.iter <- 10^5
z <- matrix(rnorm(n*n.iter), ncol=n)

sim <- function(mu) {
  stouffer.sim <- apply(z + mu, 1, 
                    function(y) {q <- pnorm(sum(y)/sqrt(length(y))); 2*min(q, 1-q)})
  chisq.sim <- apply(z + mu, 1, 
                    function(y) 1 - pchisq(sum(y^2), length(y)))
  #fisher.sim <- apply(z + mu, 1,
  #                  function(y) {q <- pnorm(y); 
  #                     1 - pchisq(-2 * sum(log(2*pmin(q, 1-q))), 2*length(y))})
  return(list(stouffer=stouffer.sim, chisq=chisq.sim, fisher=fisher.sim))
}

par(mfrow=c(2, 3))
breaks=seq(0, 1, .05)
tmp <- sapply(c(0, .1, .2, .3, .4, .6), 
              function(mu) {
                x <- sim(mu); 
                hist(x[[1]], breaks=breaks, xlab="p", col="#ff606060",
                     main=paste("Mu =", mu)); 
                hist(x[[2]], breaks=breaks, xlab="p", col="#6060ff60", add=TRUE)
                #hist(x[[3]], breaks=breaks, xlab="p", col="#60ff6060", add=TRUE)
                })

Uma maneira geral de obter informações sobre as estatísticas de teste é derivar as suposições subjacentes (geralmente implícitas) que levariam a estatística de teste a ser mais poderosa. Para esse caso em particular, um estudante e eu fizemos isso recentemente: http://arxiv.org/abs/1111.1210v2 (uma versão revisada deve aparecer em Annals of Applied Statistics).

Para resumir muito brevemente (e consistente com os resultados da simulação em outra resposta) o método de Stouffer será mais poderoso quando os efeitos subjacentes "verdadeiros" forem todos iguais; a soma de Z ^ 2 será mais poderosa quando os efeitos subjacentes são normalmente distribuídos em torno de 0. Essa é uma pequena simplificação que omite detalhes: consulte a seção 2.5 na pré-impressão do arxiv vinculada acima para obter mais detalhes.

Ligeiramente o / t: um dos problemas de ambas as abordagens é a perda de potência devido aos graus de liberdade (N para Stouffer's; 2N para Fisher). Foram desenvolvidas melhores abordagens meta-analíticas para isso, que você pode considerar (meta-análise ponderada por variância inversa, por exemplo).

Se você está procurando evidências de alguns testes alternativos em um grupo, consulte a estatística de maior crítica de Donoho e Jin: https://projecteuclid.org/euclid.aos/1085408492

Para responder à pergunta e a outros leitores: ele já foi usado ?, existe um artigo exaustivo de Cousins ​​(2008) sobre o arXiv, que lista e revisa algumas abordagens alternativas. O proposto não parece aparecer.