Definição de probabilidade condicional com várias condições

Especificamente, digamos que eu tenho dois eventos, A e B, e alguns parâmetros de distribuição $\theta$ , e eu gostaria de examinar $P(A | B,\theta)$ .

Portanto, a definição mais simples de probabilidade condicional é, dados alguns eventos A e B, então $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ . Portanto, se existem vários eventos para condicionar, como eu já disse acima, eu poderia dizer que$P(A | B,\theta) \stackrel{?}{=} \frac{P((A | \theta)\cap(B | \theta))}{P(B|\theta)}$ ou estou olhando totalmente da maneira errada? Costumo me desentender quando lida com a probabilidade, às vezes, não tenho muita certeza do porquê.

Você pode fazer um pequeno truque. Deixe . Agora você pode escrever$(B \cap \theta) = C$

O problema se reduz ao de uma probabilidade condicional com apenas uma condição: P ( A | C ) = P ( A ∩ C

$$P(A|B, \theta) = P(A|C).$$ $$P(A|C) = \frac{P(A \cap C)}{P(C)}$$

Agora preencha para C novamente e você tem:$(B \cap \theta)$$C$

$$\frac{P(A \cap C)}{P(C)} = \frac{P(A \cap (B \cap \theta))}{P(B \cap \theta)}$$

E este é o resultado que você deseja alcançar. Vamos escrever isso exatamente da forma que você tinha quando afirmou a pergunta:

$$P(A|B , \theta) = \frac{ P(A \cap B \cap \theta) }{ P(B \cap \theta) }$$

Quanto à sua segunda pergunta, por que essa probabilidade o assusta: é uma das descobertas da pesquisa psicológica que os seres humanos não são muito bons em raciocínio probabilístico ;-). Foi um pouco difícil para mim encontrar uma referência que eu possa apontar para você. Mas o trabalho de Daniel Kahneman é certamente muito importante nesse sentido.

Eu acho que você provavelmente quer isso:

$$\rm{P}(A|B,\theta) = \frac{\rm{P}(A\cap B|\theta)}{\rm{P}(B|\theta)}$$

Costumo achar confuso pensar em como manipular probabilidades. Com várias condições, acho mais fácil pensar dessa maneira:

• $\rm{P}(A|B)$$\theta$
• $\rm{P}(A|B) = \rm{P}(A\cap B)/\rm{P}(B)$
• $\theta$$\rm{P}(A|B,\theta) = \rm{P}(A\cap B|\theta)/\rm{P}(B|\theta)$