Por que o teorema de Bayes funciona graficamente?

Do ponto de vista matemático, o Teorema de Bayes faz todo sentido para mim (isto é, derivar e provar), mas o que não sei é se existe ou não um bom argumento geométrico ou gráfico que pode ser mostrado para explicar o Teorema de Bayes. Tentei pesquisar no Google para obter uma resposta e, surpreendentemente, não consegui encontrar nada.

Basicamente, basta desenhar um diagrama de Venn de dois círculos sobrepostos que devem representar conjuntos de eventos. Chame-os de A e B. Agora, a interseção dos dois é P (A, B), que pode ser lida com probabilidade de A AND B. Pelas regras básicas de probabilidade, P (A, B) = P (A | B) P (B) E como não há nada de especial em A versus B, também deve ser P (B | A) P (A). Igualar esses dois fornece o teorema de Bayes.

O Teorema de Bayes é realmente bastante simples. As estatísticas bayesianas são mais difíceis por duas razões. Uma é que é preciso um pouco de abstração para deixar de falar sobre papéis aleatórios dos dados para a probabilidade de que algum fato seja Verdadeiro. Exigia que você tivesse uma prévia e essa prévia afeta a probabilidade posterior de obter no final. E quando você precisa marginalizar muitos parâmetros ao longo do caminho, é mais difícil ver exatamente como isso é afetado.

Alguns acham que isso parece meio circular. Mas, realmente, não há como contornar isso. Os dados analisados ​​com um modelo não levam você diretamente à verdade. Nada faz. Ele simplesmente permite que você atualize suas crenças de maneira consistente.

A outra coisa difícil sobre as estatísticas bayesianas é que os cálculos se tornam bastante difíceis, exceto por problemas simples, e é por isso que toda a matemática é trazida para lidar com isso. Precisamos aproveitar todas as simetrias possíveis para facilitar os cálculos ou então recorrer às simulações de Monte Carlo.

Portanto, as estatísticas bayesianas são difíceis, mas o teorema de Bayes não é realmente difícil. Não pense demais! Resulta diretamente do fato de que o operador "AND", em um contexto probabilístico, é simétrico. A AND B é o mesmo que B AND A e todos parecem entender isso intuitivamente.

Um argumento físico para explicá-lo foi muito claramente descrito por Galton em um quincunce de dois estágios no final de 1800, s.

Veja a figura 5 em Stigler, Stephen M. 2010. Darwin, Galton e o esclarecimento estatístico. Jornal da Sociedade Estatística Real: Série A 173 (3): 469-482.

Eu tenho uma animação rudimentar dele aqui (requer suporte a PDF adequado para executar).

Também a transformei em uma alegoria sobre uma laranja caindo na cabeça de Galton, que tentarei carregar no futuro.

Ou talvez você prefira a imagem de rejeição do ABC aqui .

Um exercício baseado nele está aqui .

Este artigo de 10 de janeiro de 2020 sobre o Medium explica apenas com uma foto! Suponha que

• Uma doença rara infecta apenas pessoas.$1/1000$
• Os testes identificam a doença com 99% de precisão.

Se houver 100.000 pessoas, 100 pessoas com a doença rara e as demais 99.900 não a têm. Se essas 100 pessoas doentes forem testadas, será positiva e negativa. Mas o que geralmente ignoramos é que, se os 99.900 saudáveis ​​forem testados, 1% deles (isto é ) testará falso positivo.$\color{green}{99}$$\color{red}{1}$$\color{#e68a00}{999}$

Agora, se você for positivo, para ter a doença, você deve ser das pessoas doentes que deram positivo. O número total de pessoas que deram positivo foi . Portanto, a probabilidade de você ter a doença quando testou positivo é .$1$$\color{green}{99}$$\color{green}{99}+\color{#e68a00}{999}$$\dfrac{\color{green}{99}}{\color{green}{99}+\color{#e68a00}{999}} = 0.0901$