Depende exatamente do que você está procurando . Abaixo estão alguns breves detalhes e referências.
Grande parte da literatura para aproximações se concentra na função
Q ( x ) = ∫∞x12 π--√e- você22d u
para . Isso ocorre porque a função que você forneceu pode ser decomposta como uma simples diferença da função acima (possivelmente ajustada por uma constante). Essa função é referida por muitos nomes, incluindo "cauda superior da distribuição normal", "integral normal direita" e " função gaussiana ", para citar alguns. Você também verá aproximações à razão de Mills , que é
que é o pdf gaussiano.x > 0Q
R ( x ) = Q ( x )φ ( x )
φ ( x ) = ( 2 π)- 1 / 2e- x2/ 2
Aqui, listo algumas referências para vários propósitos nos quais você pode estar interessado.
Computacional
O padrão de fato para calcular a função Q ou a função de erro complementar relacionada é
WJ Cody, aproximações do Rational Chebyshev para a função de erro , matemática. Comp. , 1969, pp.631-637.
Toda implementação (que se preze) usa este documento. (MATLAB, R, etc.)
Aproximações "simples"
Abramowitz e Stegun têm um baseado em uma expansão polinomial de uma transformação da entrada. Algumas pessoas o usam como uma aproximação de "alta precisão". Não gosto disso com esse objetivo, pois se comporta mal em torno de zero. Por exemplo, sua aproximação não gera , o que eu acho que é um grande não-não. Às vezes, coisas ruins acontecem por causa disso.Q^( 0 ) = 1 / 2
Borjesson e Sundberg fornecem uma aproximação simples que funciona muito bem para a maioria das aplicações em que apenas são necessários alguns dígitos de precisão. O erro relativo absoluto nunca é pior que 1%, o que é bastante bom, considerando sua simplicidade. A aproximação básica é
e suas escolhas preferidas das constantes são e . Essa referência éum=0,339b=5,51
Q^( x ) = 1( 1 - a ) x + a x2+ b-----√φ ( x )
a = 0,339b = 5,51
PO Borjesson e CE Sundberg. Aproximações simples da função de erro Q (x) para aplicativos de comunicação . IEEE Trans. Comum. , COM-27 (3): 639-643, março de 1979.
Aqui está um gráfico de seu erro relativo absoluto.
A literatura de engenharia elétrica está repleta de várias aproximações e parece ter um interesse excessivamente intenso por elas. Muitos deles são pobres, porém, ou se expandem para expressões muito estranhas e complicadas.
Você também pode olhar
W. Bryc. Uma aproximação uniforme da integral normal correta . Matemática Aplicada e Computação , 127 (2-3): 365–374, abril de 2002.
Fração continuada de Laplace
Laplace tem uma bela fração contínua que gera limites superiores e inferiores sucessivos para cada valor de . É, em termos da razão de Mills,x > 0
R ( x ) = 1x +1x +2x +3x +⋯ ,
onde a notação que usei é bastante padrão para uma fração contínua , ou seja, . Porém, essa expressão não converge muito rápido para pequeno e diverge em .x x = 01 / ( x + 1 / ( x + 2 / ( x + 3 / ( x + ⋯ ) ) ) ))xx = 0
Essa fração continuada realmente produz muitos dos limites "simples" em que foram "redescobertos" em meados do final do século XX. É fácil ver que, para uma fração contínua na forma "padrão" (ou seja, composta de coeficientes inteiros positivos), truncar a fração em termos ímpares (pares) gera um limite superior (inferior).Q ( x )
Portanto, Laplace nos diz imediatamente que
ambos limites que foram "redescobertos" em meados de 1900's. Em termos da função , isso é equivalente a
Uma prova alternativa disso usando simples integração por partes pode ser encontrada em S. Resnick, Aventuras em processos estocásticos , Birkhauser, 1992, no capítulo 6 (movimento browniano). O erro relativo absoluto desses limites não é pior que , conforme mostrado nesta resposta relacionada .Q x
xx2+ 1< R ( x ) < 1x,
Qx-2xx2+ 1φ ( x ) < Q ( x ) < 1xφ ( x ) .
x- 2
Observe, em particular, que as desigualdades acima implicam imediatamente que . Este fato pode ser estabelecido usando a regra de L'Hopital também. Isso também ajuda a explicar a escolha da forma funcional da aproximação de Borjesson-Sundberg. Qualquer escolha de mantém a equivalência assintótica como . O parâmetro serve como uma "correção de continuidade" próximo de zero.um ∈ [ 0 , 1 ] x → ∞ bQ ( x ) ∼ φ ( x ) / xa ∈ [ 0 , 1 ]x → ∞b
Aqui está um gráfico da função e os dois limites de Laplace.Q
CI. C. Lee tem um artigo do início dos anos 90 que faz uma "correção" para pequenos valores de . Vejox
CI. C. Lee. Em Laplace, fração continuada para a integral normal . Ann. Inst. Statist. Matemática. , 44 (1): 107-120, março de 1992.
Probabilidade de Durrett : teoria e exemplos fornece os limites superior e inferior clássicos em nas páginas 6–7 da 3ª edição. Elas são destinadas a valores maiores de (digamos, ) e são assintoticamente restritas.x x > 3Q ( x )xx > 3
Espero que isso ajude você a começar. Se você tiver um interesse mais específico, talvez eu possa apontar para algum lugar.