Este é um complemento para a resposta correta e aceita. Em particular, a pergunta original contém uma pergunta de acompanhamento sobre a afirmação que o livro faz.
Além disso, o gráfico à esquerda na figura a seguir é reivindicado para capturar a relação de independência entre e , por que?
XY
É isso que é abordado nesta resposta e é a única coisa abordada nesta resposta.
Para garantir que estamos na mesma página, a seguir, uso esta definição de gráfico de independência condicional (não direcionada) que corresponde (pelo menos aproximadamente) aos campos aleatórios de Markov:
Definição: O gráfico independência condicional de é o gráfico não dirigida onde e é não no conjunto de arestas se e somente se . (Onde denota o vetor de todas as variáveis aleatórias, exceto e .)XG=(K,E)K={1,2,…,k}(i,j)Xi⊥⊥Xj|XK∖{i,j}XK∖{i,j}XiXj
Da p. 60 de Whittaker, Modelos Gráficos em Estatística Multivariada Matemática Aplicada (1990).
Aqui, usando o argumento dado por Henry na resposta correta e aceita, podemos estabelecer que e são condicionalmente independentes, dado , na notação .XYZX⊥⊥Y |Z
Como as únicas três variáveis aleatórias são e , isso significa que e são condicionalmente independentes quando recebem todas as outras variáveis aleatórias restantes (neste caso, apenas ).X,YZXYZ
Utilizando a definição do gráfico de independência condicional dada acima, isto significa que todas as arestas do gráfico deve ser incluídas excepto para a borda entre e . De fato, é exatamente isso que é mostrado no gráfico correto dessa imagem.XY
Em relação ao gráfico esquerdo, não é claro sem ter mais contexto, mas acho que a idéia é apenas mostrar como seria o gráfico de independência condicional se não tivéssemos zeros nessas entradas da matriz de covariância inversa.
Em particular, usando a definição acima, vemos que podemos começar com o gráfico completo nos nós , que é o gráfico esquerdo nessa imagem, e derivar o gráfico de independência condicional desse primeiro gráfico, removendo todos os arestas correspondentes a variáveis aleatórias condicionalmente independentes. A figura compara os dois gráficos explicitamente ("versus"), o que para mim sugere uma comparação entre o gráfico completo com o qual podemos começar e o gráfico de independência condicional que termina com se / quando eles aplicam a definição de gráfico de independência condicional, conforme indicado acima.X,Y,Z