MCMC em um espaço de parâmetro limitado?

Estou tentando aplicar o MCMC em um problema, mas meus anteriores (no meu caso eles são )) estão restritos a uma área? Posso usar o MCMC normal e ignorar as amostras que ficam fora da zona restrita (que no meu caso é [0,1] ^ 2), ou seja, reutilizar a função de transição quando a nova transição cair fora da área restrita (restrita)?$\alpha\in[0,1],\beta\in[0,1]$

Você tem várias opções agradáveis, mais ou menos simples. Seu uniforme anterior ajuda a torná-los mais simples.

Opção 1: Amostrador de independência. Você pode simplesmente definir a distribuição da sua proposta igual a uma distribuição uniforme sobre o quadrado da unidade, o que garante que as amostras não fiquem fora da zona restrita, como você chama. Possível desvantagem: se o posterior estiver concentrado em uma região muito pequena do quadrado da unidade, você poderá ter uma taxa de aceitação muito baixa. OTOH, é difícil gerar números aleatórios mais rapidamente do que a partir de uma distribuição U (0,1). Potencial positivo: menos trabalho para você.

Opção 2: transforme seus parâmetros em algo que não seja delimitado, faça propostas para os parâmetros transformados e depois transforme os parâmetros novamente para uso nas funções de probabilidade. Observe que, neste caso, o prior estará nos parâmetros transformados, porque é para isso que você está fazendo propostas, então você terá que mexer com o jacobiano da transformação para obter o novo prior. Para sua análise, é claro, você transformará os números aleatórios dos parâmetros gerados pelo MCMC de volta aos parâmetros originais. Desvantagem potencial: mais trabalho inicial para você. Pptential upside: melhor taxa de aceitação para suas propostas.

$x$$(nx, n(1-x))$$n$$n$ muito grande e se aproximar de uma esquina, você pode acabar fazendo muitos movimentos pequenos na esquina antes de sair.

Opção 4: Apenas rejeite qualquer proposta que fique fora do quadrado da unidade (sugestão sem entusiasmo de Xian). Observe que isso não é o mesmo que gerar outra proposta; nesse caso, você está rejeitando a proposta, o que significa que seu próximo valor para o parâmetro é o mesmo que o valor atual para o parâmetro. Isso funciona porque é o que aconteceria se você tivesse uma probabilidade zero zero para alguma região do espaço de parâmetro e gerasse um número aleatório que caísse nessa região. Possível desvantagem: se você chegar perto de uma esquina, poderá ter uma baixa probabilidade de aceitação e ficar parado por um tempo. Potencial positivo: menos trabalho para você.

Opção 5: crie um problema estendido no plano que, no quadrado da unidade, seja igual ao problema real que você enfrenta, faça tudo certo e, ao pós-processamento dos resultados da amostragem MCMC, jogue fora todas as amostras do quadrado da unidade. Potencial positivo: se é muito fácil criar esse problema estendido, pode ser menos trabalhoso para você. Possível desvantagem: se a cadeia de Markov se afastar em algum lugar fora do quadrado da unidade por um tempo, você pode ter, com efeito, probabilidades de aceitação horríveis, pois descartará a maioria de suas amostras.

Sem dúvida, existem outras opções, eu estaria interessado em ver o que as outras pessoas sugerem!

$n$