A correção de Bonferroni é anti-conservadora / liberal demais para algumas hipóteses dependentes?

Costumo ler que a correção de Bonferroni também funciona para hipóteses dependentes. No entanto, não acho que seja verdade e tenho um contra-exemplo. Alguém pode me dizer (a) onde está o meu erro ou (b) se estou certo sobre isso.

Configurando o Exemplo de Contador

Suponha que estamos testando duas hipóteses. Seja a primeira hipótese falsa e caso contrário. Defina mesma forma. Seja os valores de p associados às duas hipóteses e Denote a função do indicador para o conjunto especificado dentro dos colchetes.$H_{1}=0$$H_{1}=1$$H_{2}$$p_{1},p_{2}$$[\![\cdot]\!]$

Para fixo defina que são obviamente densidades de probabilidade acima de . Aqui está um gráfico das duas densidades$\theta\in [0,1]$

$$\begin{eqnarray*} P\left(p_{1},p_{2}|H_{1}=0,H_{2}=0\right) & = & \frac{1}{2\theta}[\![0\le p_{1}\le\theta]\!]+\frac{1}{2\theta}[\![0\le p_{2}\le\theta]\!]\\ P\left(p_{1},p_{2}|H_{1}=0,H_{2}=1\right) & = & P\left(p_{1},p_{2}|H_{1}=1,H_{2}=0\right)\\ & = & \frac{1}{\left(1-\theta\right)^{2}}[\![\theta\le p_{1}\le1]\!]\cdot[\![\theta\le p_{2}\le1]\!] \end{eqnarray*}$$ $[0,1]^{2}$

A marginalização gera e da mesma forma para . p

$$\begin{eqnarray*} P\left(p_{1}|H_{1}=0,H_{2}=0\right) & = & \frac{1}{2\theta}[\![0\le p_{1}\le\theta]\!]+\frac{1}{2}\\ P\left(p_{1}|H_{1}=0,H_{2}=1\right) & = & \frac{1}{\left(1-\theta\right)}[\![\theta\le p_{1}\le1]\!] \end{eqnarray*}$$ $p_{2}$

Além disso, vamos Isso implica que P(p1|H1=0

$$\begin{eqnarray*} P\left(H_{2}=0|H_{1}=0\right) & = & P\left(H_{1}=0|H_{2}=0\right)=\frac{2\theta}{1+\theta}\\ P\left(H_{2}=1|H_{1}=0\right) & = & P\left(H_{1}=1|H_{2}=0\right)=\frac{1-\theta}{1+\theta}. \end{eqnarray*}$$ p $$\begin{eqnarray*} P\left(p_{1}|H_{1}=0\right) & = & \sum_{h_{2}\in\{0,1\}}P\left(p_{1}|H_{1}=0,h_{2}\right)P\left(h_{2}|H_{1}=0\right)\\ & = & \frac{1}{2\theta}[\![0\le p_{1}\le\theta]\!]\frac{2\theta}{1+\theta}+\frac{1}{2}\frac{2\theta}{1+\theta}+\frac{1}{\left(1-\theta\right)}[\![\theta\le p_{1}\le1]\!]\frac{1-\theta}{1+\theta}\\ & = & \frac{1}{1+\theta}[\![0\le p_{1}\le\theta]\!]+\frac{\theta}{1+\theta}+\frac{1}{1+\theta}[\![\theta\le p_{1}\le1]\!]\\ & = & U\left[0,1\right] \end{eqnarray*}$$ é uniforme conforme exigido para valores de p na hipótese nula. O mesmo vale para devido à simetria.$p_{2}$

Para obter a distribuição conjunta calculamos$P\left(H_{1},H_{2}\right)$

P ( H 1 , H 2

$$\begin{eqnarray*} P\left(H_{2}=0|H_{1}=0\right)P\left(H_{1}=0\right) & = & P\left(H_{1}=0|H_{2}=0\right)P\left(H_{2}=0\right)\\ \Leftrightarrow\frac{2\theta}{1+\theta}P\left(H_{1}=0\right) & = & \frac{2\theta}{1+\theta}P\left(H_{2}=0\right)\\ \Leftrightarrow P\left(H_{1}=0\right) & = & P\left(H_{2}=0\right):=q \end{eqnarray*}$$ Portanto, a distribuição conjunta é dada por que significa que . $$\begin{eqnarray*} P\left(H_{1},H_{2}\right) & = & \begin{array}{ccc} & H_{2}=0 & H_{2}=1\\ H_{1}=0 & \frac{2\theta}{1+\theta}q & \frac{1-\theta}{1+\theta}q\\ H_{1}=1 & \frac{1-\theta}{1+\theta}q & \frac{1+\theta-2q}{1+\theta} \end{array} \end{eqnarray*}$$ $0\le q\le\frac{1+\theta}{2}$

Por que é um exemplo contrário

Agora vamos para o nível de significância de interesse. A probabilidade de obter pelo menos um falso positivo com o nível de significância corrigido considerando que ambas as hipóteses são falsas (por exemplo, ), é dada por porque todos os valores de e são inferiores a dado que e$\theta=\frac{\alpha}{2}$$\alpha$$\frac{\alpha}{2}$$H_{i}=0$

$$\begin{eqnarray*} P\left(\left(p_{1}\le\frac{\alpha}{2}\right)\vee\left(p_{2}\le\frac{\alpha}{2}\right)|H_{1}=0,H_{2}=0\right) & = & 1 \end{eqnarray*}$$ $p_{1}$$p_{2}$$\frac{\alpha}{2}$$H_1=0$$H_2=0$por construção. A correção de Bonferroni, no entanto, alegaria que a FWER é menor que .$\alpha$

Bonferroni não pode ser liberal, independentemente da dependência, se seus valores de p forem calculados corretamente.

Seja A o evento de erro do Tipo I em um teste e B seja o evento de erro do Tipo I em outro teste. A probabilidade de que A ou B (ou ambos) ocorra é:

P (A ou B) = P (A) + P (B) - P (A e B)

Como P (A e B) é uma probabilidade e, portanto, não pode ser negativa, não há como a equação produzir um valor maior que P (A) + P (B). O valor mais alto que a equação pode produzir é quando P (A e B) = 0, ou seja, quando A e B são perfeitamente dependentes negativamente. Nesse caso, você pode preencher a equação da seguinte forma, assumindo nulos verdadeiros e um nível alfa ajustado por Bonferroni de 0,025:

P (A ou B) = P (A) + P (B) - P (A e B) = 0,025 + 0,025 - 0 = 0,05

Sob qualquer outra estrutura de dependência, P (A e B)> 0, então a equação produz um valor ainda menor que 0,05. Por exemplo, sob dependência positiva perfeita, P (A e B) = P (A); nesse caso, você pode preencher a equação da seguinte maneira:

P (A ou B) = P (A) + P (B) - P (A e B) = 0,025 + 0,025 - 0,025 = 0,025

Outro exemplo: sob independência, P (A e B) = P (A) P (B). Conseqüentemente:

P (A ou B) = P (A) + P (B) - P (A e B) = 0,025 + 0,025 - 0,025 * .025 = 0,0494

Como você pode ver, se um evento tem uma probabilidade de 0,025 e outro evento também tem uma probabilidade de 0,025, é impossível que a probabilidade de "um ou ambos" seja maior que 0,05, porque é impossível para P ( A ou B) seja maior que P (A) + P (B). Qualquer reivindicação em contrário é logicamente sem sentido.

"Mas isso pressupõe que os dois nulos sejam verdadeiros", você pode dizer. "E se o primeiro nulo for verdadeiro e o segundo for falso?" Nesse caso, B é impossível porque você não pode ter um erro do tipo I em que a hipótese nula é falsa. Assim, P (B) = 0 e P (A e B) = 0. Então, vamos preencher nossa fórmula geral para a FWER de dois testes:

P (A ou B) = P (A) + P (B) - P (A e B) = 0,025 + 0 - 0 = 0,025

Então, mais uma vez, a FWER é <0,05. Observe que a dependência é irrelevante aqui porque P (A e B) é sempre 0. Outro cenário possível é que ambos os nulos são falsos, mas deve ser óbvio que o FWER seria então 0 e, portanto, <0,05.

Eu acho que finalmente tenho a resposta. Preciso de um requisito adicional na distribuição de . Antes, eu exigia apenas que fosse uniforme entre 0 e 1. Nesse caso, meu exemplo está correto e Bonferroni seria muito liberal. No entanto, se eu exigir adicionalmente a uniformidade de , é fácil derivar que Bonferroni nunca pode ser muito conservador. Meu exemplo viola essa suposição. Em termos mais gerais, a suposição é que a distribuição de todos os valores de p, considerando que todas as hipóteses nulas são verdadeiras, deve ter a forma de uma cópula : conjuntamente, elas não precisam ser uniformes, mas marginalmente.P ( p 1 | H 1 = 0 ) P ( p 1 | H 1 = 0 , H 2 = 0 $P(p_1,p_2|H_1=0, H_2=0)$$P(p_1|H_1=0)$$P(p_1|H_1=0, H_2=0)$

Comentário: Se alguém puder me indicar uma fonte em que essa suposição esteja claramente declarada (livro, artigo), aceitarei esta resposta.