Invertendo a Transformada de Fourier para uma distribuição Fisher

A função característica da distribuição de Fisher é: C ( t ) = Γ ( α + $\mathcal{F}(1,\alpha)$ ondeUé afunção hipergeométrica confluente. Estou tentando resolver a transformada inversa de FourierF-1t,xdan-convoluçãopara recuperar a densidade de uma variávelx, ou seja: F-1t,x(C(t)n) com o objetivo de obter a distribuição da soma denvariáveis ​​aleatórias distribuídas por Fisher. Gostaria de saber se alguém tem alguma idéia, pois parece ser muito difícil de resolver. Eu tentei valores de

$$C(t)=\frac{\Gamma \left(\frac{\alpha +1}{2}\right) U\left(\frac{1}{2},1-\frac{\alpha }{2},-i t \alpha \right)}{\Gamma \left(\frac{\alpha }{2}\right)}$$ $U$$\mathcal {F} _ {t,x}^{-1}$$n$$x$ $$\mathcal {F} _ {t,x}^{-1} \left(C(t)^n\right)$$ $n$ e n = 2 sem sucesso. Nota: para n = 2 por convolução, recebo o pdf da média (não da soma):$\alpha=3$$n=2$$n=2$

,

$$\frac{3 \left(12 \left(x^2+3\right) \left(5 x^2-3\right) x^2+9 \left(20 x^4+27 x^2+9\right) \log \left(\frac{4 x^2}{3}+1\right)+2 \sqrt{3} \left(x^2+15\right) \left(4 x^2+3\right) x^3 \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{\sqrt{3}}\right)\right)}{\pi ^2 x^3 \left(x^2+3\right)^3 \left(4 x^2+3\right)}$$

onde é uma média de 2 variáveis. Eu sei que é pesado, mas gostaria de ter uma idéia da aproximação da distribuição da bacia.$x$

Não existe uma densidade de forma fechada para uma convolução das estatísticas F, portanto, tentar inverter a função característica analiticamente provavelmente não levará a nada útil.

Nas estatísticas matemáticas, a expansão inclinada de Edgeworth (também conhecida como aproximação do ponto de sela) é uma técnica famosa e frequentemente usada para aproximar uma função de densidade, dada a função característica. A aproximação do ponto de sela, se frequentemente notavelmente precisa. Ole Barndorff-Nielsen e David Cox escreveram um livro explicando essa técnica matemática.

$aF(n,k)$$n$$a$$k$ para fazer os dois primeiros momentos da distribuição correta. Isso é fácil, dada a média conhecida e a variação da distribuição F.

$\alpha$$n$$a=n$ e $k=\infty$ na aproximação acima, mostrando que a aproximação simples é precisa para grandes $\alpha$.