Proporção de probabilidades versus proporção de PDFs

Estou usando o Bayes para resolver um problema de cluster. Depois de fazer alguns cálculos, acabo com a necessidade de obter a razão de duas probabilidades:

$$P(A)/P(B)$$

para obter $P(H|D)$ . Essas probabilidades são obtidas pela integração de dois KDEs multivariados 2D diferentes, conforme explicado nesta resposta :

$$P(A) = \iint_{x, y : \hat{f}(x, y) < \hat{f}(r_a, s_a)} \hat{f}(x,y)\,dx\,dy$$ $$P(B) = \iint_{x, y : \hat{g}(x, y) < \hat{g}(r_b, s_b)} \hat{g}(x,y)\,dx\,dy$$

onde f ( x , y ) e g ( x , y ) são as KDES e a integração é feita para todos os pontos abaixo dos limiares de f ( r um , é um ) e g ( r b , s b ) . Ambos os KDEs usam um kernel gaussiano . Uma imagem representativa de um KDE semelhante à que eu estou trabalhando pode ser vista aqui: Integrando o estimador de densidade de kernel em 2D .$\hat{f}(x, y)$$\hat{g}(x, y)$$\hat{f}(r_a, s_a)$$\hat{g}(r_b, s_b)$

Eu calculo os KDEs por meio da pythonfunção stats.gaussian_kde , então assumo a seguinte forma geral:

$$KDE(x,y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} -\frac{1}{2h^2} e^{-\frac{(x-x_i)^2 + (y-y_i)^2}{2h^2}}$$

Onde nestá o comprimento da minha matriz de pontos e ha largura de banda usada.

As integrais acima são calculadas aplicando um processo de Monte Carlo, que é bastante computacionalmente caro. Eu li em algum lugar (esqueci onde, desculpe) que, em casos como este, é possível substituir a proporção de probabilidades pela proporção de PDFs (KDEs) avaliados nos pontos de limiar para obter resultados igualmente válidos. Estou interessado nisso, porque calcular a proporção do KDEs é uma ordem de magnitude mais rápida que calcular a proporção das integrais com o MC.

Portanto, a questão é reduzida à validade dessa expressão:

$$\frac{P(A)}{P(B)} = \frac{\hat{f}(r_a, s_a)}{\hat{g}(r_b, s_b)}$$

Em que circunstâncias, se houver, posso dizer que essa relação é verdadeira?

[erro de digitação fixo (EDIT)]

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Adicionar :

Aqui está basicamente a mesma pergunta, mas feita de uma forma mais matemática .

O KDE é uma mistura de distribuições normais. Vamos dar uma olhada em um deles.

As definições de e P ( B ) mostram que seus valores são invariantes em traduções e redimensionamentos no plano, portanto basta considerar a distribuição normal padrão com o PDF f . A desigualdade$P(A)$$P(B)$$f$

$$f(x,y) \le f(r,s)$$

é equivalente a

$$x^2 + y^2 \ge r^2 + s^2.$$

A introdução das coordenadas polares permite que a integral seja reescrita$\rho, \theta$

$$P(r,s) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\int_\sqrt{r^2+s^2}^\infty \rho \exp(-\rho^2/2) d\rho d\theta= \exp(-(r^2+s^2)/2) = 2\pi f(r,s).$$

Agora considere a mistura. Por ser linear,

$$\eqalign{ P(r,s) &= \frac{1}{n}\sum_i 2\pi f((r-x_i)/h, (s-y_i)/h) \\ &= 2\pi h^2\left(\frac{1}{n}\sum_i \frac{1}{h^2} f((r-x_i)/h, (s-y_i)/h)\right) \\ &=2\pi h^2 KDE(r,s). }$$

De fato, e P são proporcionais. $f$$P$ A constante de proporcionalidade é .$2\pi h^2$

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Que tal relação de proporcionalidade entre e f seja especial$P$$f$ pode ser apreciada contemplando-se um simples contra-exemplo. Deixe- tem uma distribuição uniforme sobre um conjunto mensurável Um 1 de unidade de área e f 2 têm uma distribuição uniforme sobre um conjunto mensurável Um 2 que é separado a partir de um 1 e tem área μ > 1 . Em seguida, a mistura com PDF f = f 1 / 2 + f 2 / 2 tem um valor constante $f_1$$A_1$$f_2$$A_2$$A_1$$\mu\gt 1$$f=f_1/2 + f_2/2$ em A 1 , 1 / ( 2 μ ) em A 2 e é zero em outro lugar. Há três casos a considerar:$1/2$$A_1$$1/(2\mu)$$A_2$

1. . Aqui f ( r , s ) = 1 / 2 atinge o seu máximo, de onde P ( r , s ) = 1 . A proporção de f ( r , s ) / P ( r , s ) = 1 / 2 .$(r,s)\in A_1$$f(r,s)=1/2$$P(r,s)=1$$f(r,s)/P(r,s) = 1/2$

2. $(r,s)\in A_2$$f(r,s)$$1/2$$0$$A_1$$1/2$$f(r,s)/P(r,s) = (1/(2\mu))/(1/2) = 1/\mu$.

3. Elsewhere, $f$ is zero and the integral $P$ is zero.

Evidently the ratio (where it is defined) is not constant and varies between $1$ and $1/\mu \ne 1$. Although this distribution is not continuous, it can be made so by adding a Normal$(0,\Sigma)$ distribution to it. By making both eigenvalues of $\Sigma$ small, this will change the distribution very little and produce qualitatively the same results--only now the values of the ratio $f/P$ will include all the numbers in the interval $[1,1/\mu]$.

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This result also does not generalize to other dimensions. Essentially the same calculation that started this answer shows that $P$ is an incomplete Gamma function and that clearly is not the same as $f$. That two dimensions are special can be appreciated by noting that the integration in $P$ essentially concerns the distances and when those are Normally distributed, the distance function has a $\chi^2(2)$ distribution--which is the exponential distribution. The exponential function is unique in being proportional to its own derivative--whence the integrand $f$ and integral $P$ must be proportional.