Para uma variável aleatória contínua, por que

Meu livro coloca isso em uma caixa lateral com o cabeçalho "Nota" e não explica o porquê. Você poderia me dizer por que essa afirmação se aplica?

$P(a < Z < b) = P(a \leq Z < b) = P(a < Z \leq b) = P(a \leq Z \leq b)$

probability mathematical-statistics continuous-data Pessoa
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Quase se poderia considerar essas afirmações como definições de "contínuo". Qual é, então, a sua definição de variável aleatória contínua?

whuber

Para uma variável aleatória contínua, o que é e ?

P (Z = a)

$P(Z=a)$

P (Z = b)

$P(Z=b)$

Glen_b -Reinstala Monica

O artigo da Wikipedia sobre distribuições de probabilidade explica muito bem isso. Por fim , invoca o fato de que o CDF é contínuo, de onde a probabilidade de qualquer ponto único deve ser zero.

whuber

Respostas:

Nada formal a acrescentar, mas uma analogia que realmente me ajudou a entender isso veio de um texto de cálculo. Imagine que você tem um cano de ferro de um certo comprimento e peso. E você deseja cortá-lo em dois pedaços. Se o tubo tiver um comprimento de 1 m, você pode cortá-lo ao meio na marca 0,5. Agora pense no peso do tubo como um tempo constante do seu comprimento (assumimos que todas as seções transversais de igual comprimento têm o mesmo peso).

Cortar o tubo ao meio na marca de 0,5 m - quanto peso você perde? Lembre-se de que a única seção transversal que você está removendo é a própria marca de 0,5 m. Então, qual é o comprimento dessa seção transversal? Considere que 0,49999999 ... não faz parte dela e nem 0,5000000000 ... 1, ou qualquer outro ponto que esteja próximo, mas não seja igual a 0,5 - portanto, o comprimento dessa seção transversal é tecnicamente zero. O que significa que você realmente não está removendo nenhum peso.

Isso explicaria por que e são basicamente os mesmos para variáveis contínuas - incluindo ou excluindo o ponto final realmente não muda nada - para qualquer ponto que você escolher próximo ao ponto final, ainda haverá uma quantidade infinita de pontos entre eles. $\leq$ $<$

Isto faz algum sentido?

ltronneberg
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Primeiro vou dar a definição de um (absolutamente) contínua variável aleatória . $Z$

(Probabilidade avançada é necessária, muitos ignoram!)

Seja um espaço de probabilidade e seja um vetor aleatório. A probabilidade em definido por , é chamada a distribuição de . Agora, se onde é a medida de Lebesgue em (ou seja, é absolutamente contínuo em relação a ), dizemos que é um vetor aleatório (absolutamente) contínuo. Agora, usando o teorema de Radon-Nikodym $(\Omega,F, P)$ $Z:\Omega\rightarrow R^n$ $P_X$ $B(R^n)$ $P_Z(A)=P\{Z\in A\}$ $A \in B(R^n)$ $Z$ $P_Z\ll \mu,$ $\mu$ $R^n$ $P$ $\mu$ $Z$ , existe uma função tal que para todos os . Chamamos a função de densidade de . $f: R^n\to[0,+\infty]$ $P_Z(A)=\int_{A}fd_{\mu}$ $A \in B(R^n)$ $f$ $Z$

Agora defina a função de distribuição cumulativa (CDF) de uma variável aleatória absolutamente contínua como: $Z$

F_{Z} (z) = P (Z \leq z) .

$F_Z(z)=P(Z\leq z).$

Antes de apresentar uma prova formal, vamos dar um exemplo de uma variável aleatória contínua distribuída uniformemente, ou seja, com uma função de densidade de probabilidade de para e 0, caso contrário. Agora vamos tentar encontrar . TemosPodemos reduzir esse intervalo para obter uma melhor aproximação da seguinte forma:Como você pode ver, essas probabilidades estão convergindo para zero à medida que diminuímos a duração do intervalo. Agora vamos provar isso formalmente. Eu vou mostrar que para qualquer variável aleatória contínua $f(z)=1$ $0\leq z \leq 1$ $P(z=0.5)$

P (z = 0.5) \sim P (0.4 < z \leq 0.6) = \int_{0.4}^{0.6} f (z) d_{z} = 0.2.

$P(z=0.5)\sim P(0.4< z\leq 0.6)=\int_{0.4}^{0.6}f(z)d_z=0.2.$

P (z = 0.5) \sim P (0.49 < z \leq 0.51) = \int_{0.49}^{0.51} f (z) d_{z} = 0.02,

$P(z=0.5)\sim P(0.49< z\leq 0.51)=\int_{0.49}^{0.51}f(z)d_z=0.02,$

P (z = 0.5) \sim P (0.499 < z \leq 0.501) = \int_{0.499}^{0.501} f (z) d_{z} = 0.002.

$P(z=0.5)\sim P(0.499< z\leq 0.501)=\int_{0.499}^{0.501}f(z)d_z=0.002.$

Z

$Z$ , temos: usando o CDF. uma vez que a função de CDF, , é uma função de "contínua" para a contínua aleatório variável . Da mesma forma, . Finalmente, observe queEntãoVocê pode usar o mesmo argumento para outras igualdades.

P (Z = a) = 0,

$P(Z=a)=0,$

P (Z = a) = lim_{ϵ \to 0} P (a - ϵ < Z \leq a + ϵ) = lim_{ϵ \to 0} F_{Z} (a + ϵ) - lim_{ϵ \to 0} F_{Z} (a - ϵ) = F_{Z} (a) - F_{Z} (a) = 0,

$P(Z=a)=\lim_{\epsilon\to 0}P(a-\epsilon< Z\leq a+\epsilon)=\lim_{\epsilon\to 0}F_Z(a+\epsilon)-\lim_{\epsilon\to 0}F_Z(a-\epsilon)\\=F_Z(a)-F_Z(a)=0,$

F

$F$

Z

$Z$

P (Z = b) = 0

$P(Z=b)=0$

P (A ⋃ B) = P (A) + P (B) - P (A ⋂ B) .

$P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(A\bigcap B).$

P (a \leq Z < b) = P ({Z = a} ⋂ {a < Z < b}) = P (Z = a) + P (a < Z < b) = 0 + P (a < Z < b) = P (a < Z < b) .

$P(a\leq Z<b)=P\Big(\{Z=a\}\bigcap \{a<Z<b\}\Big)=P(Z=a)+P(a<Z<b)\\=0+P(a<Z<b)=P(a<Z<b).$

Estado
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Parece que esse argumento se aplicaria igualmente bem a qualquer distribuição discreta com um conjunto contável e infinito de valores possíveis, mas as conclusões estão obviamente erradas, então algo está errado.

whuber

Seria ótimo se você pudesse nos mostrar como "as conclusões estão obviamente erradas" ...

Stat

Em uma distribuição discreta - mesmo uma (como um Poisson ou um Binomial Negativo) com suporte infinitamente contável - todo valor tem probabilidade diferente de zero, enquanto o seu argumento implica que todos eles têm probabilidade zero.

whuber

Eu mudei minha resposta.

Stat

Eu discordo de sua afirmação de que sendo uma função contínua contínua nos fornece queO resultado desejado requer deixou-continuidade de , que, naturalmente, uma vez que detém é tanto-direito contínua e deixou-contínuo para contínua variáveis aleatórias . Além disso, você está usando o fato de que probabilidade é uma função de conjunto contínuo ao calcular e afirmar que é o mesmo que .

F_{Z} (z)

$F_Z(z)$

lim_{ϵ \to 0} F_{Z} (a - ϵ) = F_{Z} (a) .

$\lim_{\epsilon \to 0} F_Z(a-\epsilon) = F_Z(a).$

F_{Z} (z)

$F_Z(z)$

F_{Z} (z)

$F_Z(z)$

Z

$Z$

lim_{ϵ \to 0} P (a - ϵ < Z \leq a + ϵ)

$\lim_{\epsilon\to 0}P(a-\epsilon < Z \leq a+\epsilon)$

P {lim_{ϵ \to 0} (a - ϵ < Z < a + ϵ)}

$P\{\lim_{\epsilon\to 0} (a-\epsilon<Z<a+\epsilon)\}$

Dilip Sarwate

-1

Talvez uma explicação mais intuitiva seja que, para uma variável contínua, a contribuição das arestas (por exemplo, ou ) para a probabilidade cumulativa nos intervalos circundantes (ou semi-intervalos) seja insignificantemente pequena. $a$ $b$

Itamar
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