A variação da proporção da amostra diminui com n, mas a contagem aumenta com n

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Eu tenho um bloqueio intuitivo com isso. Para um problema binomial, o desvio padrão de uma contagem é . Por outro lado, o desvio padrão da proporção da amostra diminui com o aumento de e é . Eu posso fazer a divisão por mas não sinto por que os desvios padrão se movem em direções opostas. $\sqrt{np(1-p)}$ $n$ $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ $n$

binomial standard-deviation user39707
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Duas coisas: (a) proporção =

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$ .contagem

$\,\,$ e (b)

sd (c X) = c . sd (X)

$\text{sd}(cX) = c.\text{sd}(X)$ . Claramente

c = \frac{1}{n}

$c = \frac{1}{n}$ aqui e

\frac{1}{n} \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}

$\frac{1}{n}\sqrt n = \frac{1}{\sqrt n}$ .

Glen_b -Reinstala Monica

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Sim, esta é a questão - eu posso ver a matemática e fazer a divisão por n, mas é o aspecto intuitivo que é estranho. Se perguntado como obter uma estimativa mais precisa de um parâmetro, diria que pegue uma amostra maior. Isso me dá uma estimativa melhor para a proporção (OK), mas um spread mais amplo para contagens e quanto mais contagens eu adicionar, mais fraca a conclusão que posso tirar.

user39707

Ao trabalhar com contagens, para qual quantidade populacional você está calculando um desvio / intervalo padrão?

Glen_b -Reinstala Monica

Um exemplo (Estudo do Coração de Helsinque) de um livro (Moore & Mccabe) é onde estou me soltando. Probabilidade (ataque cardíaco) = 0,04 & n = 2000. SD para o número esperado de ataques cardíacos funciona como 8,76. Bem. Houve 84 ataques cardíacos no grupo placebo e 56 no grupo tratado. Z = 3,19 e improvável por acaso. Se houvesse 10.000 no estudo, o DP (contagens) seria ~ 20 e a diferença em 2 grupos não seria mais significativa. Mas como mais dados podem me dar menos discriminação?

user39707

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Os dois grupos têm o mesmo tamanho? O número de ataques cardíacos permanece o mesmo quando a amostra aumenta.

Dimitriy V. Masterov

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Muito a grosso modo, imagine que estamos jogando uma moeda justa . Sucesso é definido como chefes. Se jogarmos a moeda uma vez , você contará sucesso ou sucessos. Ambos têm uma probabilidade positiva igual de acontecer . Agora imagine que jogamos a moeda vezes ( ). Agora você ainda pode obter e sucessos (embora ambos sejam menos prováveis), mas também pode obter a (o que é mais provável). Se a variação mede a extensão de um conjunto de números, é possível ver com lançamentos que o spread é maior do que com $(n=1)$ $1$ $0$ $(1/2)$ $10$ $n=10$ $0$ $1$ $2$ $10$ $10$ $1$ atirar ou julgamento. Isso explica por que a variação do número de sucessos aumenta com . $n$

Com a proporção (número de sucessos dividido pelo número de lançamentos), você está tentando aproximar o valor real de . À medida que você obtém mais informações com mais testes, sua incerteza sobre diminui e a variação diminui. Com um arremesso que vem à tona, você não sabe muito (apenas esse . Com lançamentos que acabam sendo cabeças, você tem certeza de que está próximo de um. $p$ $p$ $p \ne 0)$ $10$ $p$

Dimitriy V. Masterov
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Voltei ao livro e parece que ainda não entendi muito bem. O comentário que fiz anteriormente sobre o estudo Helsinki coração resume onde parece um pouco paradoxal para mim agora

user39707

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Vamos começar assumindo que o desvio padrão da distribuição binomial esteja correto (está). Esse é o desvio padrão da distribuição do número de sucessos de tentativas, dada a probabilidade constante de sucesso . Ligue para o número de sucessos, . $n$ $p$ $X$

Então , que é o que você tem (desvio padrão ao quadrado). $Var(X) = np(1-p)$

Como uma proporção é o número de sucessos em relação ao número de tentativas, temos:

$Var(\frac{X}{n}) = \frac{Var(X)}{n^2} = \frac{np(1-p)}{n^2} = \frac{p(1-p)}{n}$ .

E assim o desvio padrão é obviamente . $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

Em um caso, você está vendo contagens, no outro, em contagens divididas pelo tamanho da amostra.

Intuitivamente, você pode imaginar que a contagem do número de sucessos é muito maior ( ) do que uma proporção ( ). À medida que aumenta, pode assumir muitos valores inteiros diferentes (e maiores) e tem mais variabilidade; , por outro lado, é restrito entre 0 e 1. Portanto, tem mais variabilidade. $X = 0, 1, 2, \ldots, n$ $0 \leq p \leq 1$ $n$ $X$ $p$ $X$

Minador
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como você conseguiu ? Por que o denominador ?

V a r (\frac{X}{n}) = \frac{V a r (X)}{n^{2}}

$Var(\frac{X}{n}) = \frac{Var(X)}{n^2}$

n^{2}

$n^2$

user490895 17/04

V a r (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}

$Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$ então . Aqui, . Fiz um erro de digitação na terceira igualdade da resposta que vou corrigir agora.

V a r (c X) = E (c^{2} X^{2}) - [c E (X)]^{2}

$Var(cX) = E(c^2X^2)-[cE(X)]^2$

= c^{2} E (X^{2}) - c^{2} E (X)^{2}

$=c^2E(X^2)-c^2E(X)^2$

= c^{2} (E (X^{2}) - [E (X)]^{2})

$=c^2(E(X^2)-[E(X)]^2)$

= c^{2} V a r (X)

$=c^2Var(X)$

c = 1 / n

$c = 1/n$

Underminer

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OK! Vou facilitar muito.

Ao usar o padrão e a variação USUALLY, você está olhando para trás, tentando ver o que está acontecendo e projetando o futuro. quando você olha para trás, mais testes geralmente ajudam a obter MAIS informações. Mais e mais tentativas ajudam a diminuir o que aconteceu. e agora você gira melhor em torno da média. Std e var apenas giram em torno da média, para que você se aproxime cada vez mais do que acontecerá.

Binomial é diferente! já sabemos o que se passa, sabemos a probabilidade. então, olhar para trás não é tão útil porque, bem, já sabemos a probabilidade. Mais e mais tentativas não nos ajudam a entender cada vez melhor como as coisas giram em torno da média, apenas nos fornece uma distribuição cada vez maior. aumentar os testes realmente só dá mais espaço para a variação.

Imagine dois cenários: um que você deseja saber como todos são altos em uma sala. mais medições = mais perto da altura média real da sala, você é grato por cada nova medição.

segundo você tem uma moeda. você já sabe qual é a média. seus 50/50, quero dizer que você está pronto. então, vamos fingir que você começa a inverter, bem, cada novo lançamento é apenas mais espaço para erro. você vira 10 vezes e recebe todas as 10 cabeças, diz ao seu amigo, que diabos! onde estavam as chances disso, isso é tão idiota! bem, se você apenas o revelasse uma vez, teria apenas uma chance de obter valores extremos loucos. mais flips não dão mais informações, apenas dão mais espaço para resultados malucos.

0 matemática e 0 fórmulas, espero que ajude.

rios zack
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Se você está procurando alguma intuição sobre esse resultado, pergunte a si mesmo qual das seguintes opções é mais variável:

... a proporção de mulheres em uma casa, ou a proporção de mulheres em um país inteiro?
... o número de mulheres em uma casa, ou o número de mulheres em um país inteiro?

Ben - Restabelecer Monica
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A variação da proporção da amostra diminui com n, mas a contagem aumenta com n - por quê?

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