Inversão de Berry

Eu tenho um grande conjunto de dados de mercado agregados sobre as vendas de vinhos nos EUA e gostaria de estimar a demanda por determinados vinhos de alta qualidade. Estas partes de mercado foram basicamente derivadas a partir de um modelo de utilidade aleatória da forma

{você}_{Eu j t} = X_{j t}^{'} β - α p_{j t} + ξ_{j t} + ϵ_{Eu j t} \equiv δ_{j t} + ϵ_{j t}

$U_{ijt} = X’_{jt}\beta - \alpha p_{jt} + \xi_{jt} + \epsilon_{ijt} \equiv \delta_{jt} + \epsilon_{jt}$ onde

X

$X$ inclui observado características do produto,

p

$p$ denota preços do produto,

ξ

$\xi$ são características do produto não observadas que influenciam a demanda e que estão correlacionados com o preço e

é o termo de erro,

indexa indivíduos,

produtos índices e

índices mercados (cidades, neste caso).

ϵ

$\epsilon$

i

$i$

j

$j$

t

$t$

Não posso usar o modelo de logit condicional usual por causa do termo de qualidade não observado e não tenho um bom instrumento. No entanto, Berry (1994) desenvolveu uma estratégia para linearizar o sistema não linear de equações de mercado em uma estrutura de logit multinomial, mas não consigo descobrir como ele executa a etapa de inversão. $\xi$

Na os verdadeiros valores dos parâmetros, ele diz que a participação de mercado estimada deve ser igual à quota de mercado para que ele então sugere para inverter as quotas de mercado a partir de para $\widehat{s}_{jt} (X, \beta , \alpha , \xi) = S_{jt}$

S_{j t} = {\hat{s}}_{j t} (δ, α, β)

$S_{jt} = \widehat{s}_{jt}(\delta , \alpha , \beta)$

δ = {\hat{s}}^{- 1} (S, α, β)

$\delta = \widehat{s}^{-1}(S, \alpha, \beta)$ O que permite resolver

e eliminá-lo. Se alguém pudesse esclarecer como essa etapa de inversão funciona ou talvez até implementá-la no Stata, isso seria ótimo. Muito Obrigado.

ξ

$\xi$

Berry, ST 1994, "Estimando modelos de escolha discreta de diferenciação de produtos", Rand Journal of Economics, Volume 25, Número 2, página 242-62

logistic estimation multiple-regression categorical-data user40339
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Respostas:

{\hat{s}}_{j t} = \frac{\exp (δ_{j t})}{1 + \sum_{g = 1}^{J} \exp (δ_{g t})}

$\widehat{s}_{jt} = \frac{\exp(\delta_{jt})}{1 + \sum^{J}_{g=1}\exp(\delta_{gt})}$

registro ({\hat{s}}_{j t}) = δ_{j t} - registro (1 + \sum_{g = 1}^{J} \exp (δ_{g t}))

$\log (\widehat{s}_{jt}) = \delta_{jt} – \log \left( 1 + \sum^{J}_{g=1}\exp(\delta_{gt}) \right)$

registro ({\hat{s}}_{0 0 t}) = 0 0 - registro (1 + \sum_{g = 1}^{J} \exp (δ_{g t}))

$\log (\widehat{s}_{0t}) = 0 – \log \left( 1 + \sum^{J}_{g=1}\exp(\delta_{gt}) \right)$

$\delta_{jt}$

δ_{j t} = registro ({\hat{s}}_{j t}) - registro ({\hat{s}}_{0 0 t}) = X_{j t}^{'} β - α p_{j t} + ξ_{j t}

$\delta_{jt} = \log (\widehat{s}_{jt}) – \log (\widehat{s}_{0t}) = X'_{jt}\beta - \alpha p_{jt} + \xi_{jt}$

ξ_{j t}

$\xi_{jt}$ . Observe que os mercados são considerados independentes um do outro.

Para esclarecer o conceito, vamos considerar um exemplo no Stata. Eu não tenho um conjunto de dados adequado em mente para esse exercício, então vamos supor que temos dados agregados sobre

5 produtos ( prod)
preços dos produtos ( p)
quantidade vendida ( q)
duas características do produto ( x1, x2)

Suponha que o bem 1 seja o bem externo, com uma participação de mercado de 10 a 20% (variando de acordo com o mercado) e o restante sendo dividido entre os outros bens. O que você faria no Stata é o seguinte:

* calculate the market share of your goods in all markets
egen mktsales = sum(q), by(mkt)
gen share = q/mktsales

* generate logs
gen ln_share = ln(share)

* subtract the log share of the outside good from the log share of the inside goods
gen diffshare = .
forval i = 1(1)100 {
    qui sum ln_share if prod==1 & mkt==`i’
    replace diffshare = ln_share - `r(max)’ if mkt==`i’
}

* run the regression
reg diffshare p x1 x2

$\xi_{jt}$

$i$

Como alternativa, Berry et al. (1995) desenvolvem um modelo logit de coeficientes aleatórios que fornece elasticidades próprias e precisas entre preços mais precisas e padrões de substituição mais flexíveis entre mercadorias.

Referências:

Berry, S., J. Levinsohn e A. Pakes (1995), "Preços de automóveis em equilíbrio de mercado", Econmetrica, 63, 4, 841-90
Hausman, J., “Avaliação de novos produtos sob concorrência perfeita e imperfeita”, em Bresnahan e Gordon (orgs.), The Economics of New Goods, NBER Studies in Income and Wealth 58, 1997, 209-237
Nevo, A. (2001), “Medindo o poder de mercado na indústria de cereais prontos para consumo”, Econometrica, 69, 2, 307-42

Andy
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