Probabilidade de desenhar uma bola preta em um conjunto de bolas preto e branco com condições de substituição mistas

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Quando uma bola preta é sacada, ela não é substituída no conjunto, mas as bolas brancas são substituídas.

Eu pensei nisso, com as anotações:

  • b , o número inicial de bolas em preto e brancow
  • xi=(bi)/(b+wi)

A probabilidade de desenhar uma bola preta após n empates:Pb(n)

Pb(0)=x0Pb(1)=(1x0)x0+x0x1Pb(2)=(1x0)2x0+x0x1(1x0)+x0x1(1x1)+x0x1x2Pb(n)=k=0n1(i=0kxii<=knk terms1xi)

Essa soma parece infinita com n, mesmo que alguns termos sejam nulos, poisxib=0

Excepto :b=1
Pb(n)=(1x0)nx0

Para :b=2
Pb(n)=x0(1x1)n+x0x1i+j=n1(1x0)i(1x1)j

Existe uma solução conhecida para esse problema?

caub
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Respostas:

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Seja o número inicial de bolas brancas seja bolas pretas sejam . A pergunta descreve uma cadeia de Markov cujos estados são indexados pelo número possível de bolas pretas As probabilidades de transição sãob i { 0 , 1 , 2 , , b } .wbi{0,1,2,,b}.

pw(i,i)=ww+i,pw(i,i1)=iw+i.

O primeiro descreve desenhar uma bola branca, caso em que não muda, e o segundo descreve desenhar uma bola preta, caso em que é reduzido em .eu 1ii1

De agora em diante, vamos largar o subscrito explícito " ", considerando esse valor como fixo. Os valores próprios da matriz de transição sãoPwP

e=(ww+bi, i=0,1,,b)

correspondente à matriz dada porQ

qij=(1)i+j+b(j+w)(bj)wjb(bji)(bi+w)bj1

cuja inversa é

(q1)ij=wbi(jbi)(bj+w)ib(bbi).

Isso é,

P=Q Diagonal(e) Q1.

Conseqüentemente, a distribuição após transições para fora do estado é dada pelo vetor de probabilidadesnb

pn=(0,0,,0,1)Pn=(0,0,,0,1)Q Diagonal(en) Q1.

Ou seja, a chance existem bolas pretas restantes depois desenha éin

pni=j=0bqnjejn(q1)ji.

Por exemplo, começando com qualquer número de bolas brancas bolas pretas, a distribuição de probabilidade após empates éb=2n1

Pr(i=2)=pn2=wn(2+w)nPr(i=1)=pn1=2wn1(1+w)n12wn1(1+w)(2+w)nPr(i=0)=pn0=12wn1(1+w)n1+wn1(2+w)n1.

Figura

As curvas nesta figura acompanham as probabilidades dos estados (azul), (vermelho) (ouro) como uma função do número de empates quando ; isto é, a urna começa com duas bolas pretas e cinco brancas.i=0i=1i=2nw=5

O estado (ficando sem bolas pretas) é um estado absorvente : no limite em que cresce sem limite, a probabilidade desse estado se aproxima da unidade (mas nunca a atinge exatamente).i=0n

whuber
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muito bom, então (para b = 2) a proba de desenhar um preto após n empates é Pr (i = 2) * 2 / (w + 2) + Pr (i = 1) * 1 / (w + 1) ? as dimensões das matrizes são bxb certo? e Pr (i) é pii?
caub
Larguei o subscrito nas fórmulas finais, então é por exemplo. As matrizes têm dimensões por . nPr(i=2)pn2,b+1b+1
whuber