Sempre existe uma função de link canônico para um Modelo Linear Generalizado (GLM)?

No GLM, assumindo um escalar e para a distribuição subjacente com pdf Pode ser mostrado que . Se a função de link g (\ cdot) satisfizer o seguinte, g (\ mu) = \ theta = X '\ beta em que X' \ beta é o preditor linear, então g (\ cdot) será chamada de função de link canônico para este modelo.$Y$$\theta$

$$f_Y(y | \theta, \tau) = h(y,\tau) \exp{\left(\frac{\theta y - A(\theta)}{d(\tau)} \right)}$$ $\mu = \operatorname{E}(Y) = A'(\theta)$$g(\cdot)$ $$g(\mu)=\theta = X'\beta$$ $X'\beta$$g(\cdot)$

Minha pergunta é: sempre existe uma função de link canônico para um GLM? Em outras palavras, $A'(\theta)$ sempre pode ser invertido? Quais são as condições necessárias para a existência de uma função de link canônico?

Para essas distribuições, $A'(\theta) = E(Y)$ e $A''(\theta)=Var(Y)/d(\tau)$

Como o parâmetro de variância e dispersão é diferente de zero (e até positivo), $A'(\theta)$ é uma função estritamente crescente e deve ser invertível.

No entanto, não tenho certeza se existem distribuições dessa família que apresentam uma variação infinita. Não consegui encontrar esses exemplos.