Por que a distribuição geométrica e a distribuição hipergeométrica são chamadas como tais?

Sim, os termos se referem às funções de massa de probabilidade (pmfs).

Há 2.500 anos, Euclides (nos Livros VIII e IV de seus Elementos ) estudou seqüências de comprimentos tendo proporções comuns.. Em algum momento, essas seqüências passaram a ser conhecidas como "progressões geométricas" (embora o termo "geométrico" pudesse, por uma razão semelhante, tenha sido facilmente aplicado a muitas outras séries regulares, incluindo as agora chamadas "aritméticas").

A função massa probabilística de uma distribuição geométrica com o parâmetro forma uma progressão geométrica $p$

p, p (1 - p), p (1 - p)^{2}, \dots, p (1 - p)^{n}, \dots .

$p, p(1-p), p(1-p)^2, \ldots, p(1-p)^n, \ldots.$

Aqui a proporção comum é . $1-p$

Várias centenas de anos atrás, uma vasta generalização de tais progressões tornou-se importante nos estudos de curvas elípticas, equações diferenciais e muitas outras áreas profundamente interconectadas da matemática. A generalização supõe que as proporções relativas entre termos sucessivos nas posições e podem variar, mas limita a natureza dessa variação: as proporções devem ser uma dada função racional de . Como eles ultrapassam ou ultrapassam a progressão geométrica (para a qual a função racional é constante), foram denominados hipergeométricos do prefixo grego antigo $k$ $k+1$ $k$ $\grave\upsilon^\prime\pi\varepsilon\rho$ ("hiper").

A função de densidade de probabilidade de uma função hipergeométrico com parâmetros de e tem a forma $N, K,$ $n$

p (k) = \frac{(\binom{K}{k}) (\binom{N - K}{n - k})}{(\binom{N}{n})}

$p(k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

para adequado . A razão de probabilidades sucessivas é, portanto, igual a $k$

\frac{p (k + 1)}{p (k)} = \frac{(K - k) (n - k)}{(k + 1) (N - K - n + k + 1)},

$\frac{p(k+1)}{p(k)} = \frac{(K-k)(n-k)}{(k+1)(N-K-n+k+1)},$

uma função racional de $k$ de grau . Isso coloca as probabilidades em uma (tipo particular de) progressão hipergeométrica. $(2,2)$

whuber
fonte

Obrigado! Existem outras distribuições cujos pmfs também formam progressões geométricas ou hipergeométricas?

Tim

Se um pmf formar uma progressão geométrica, deverá ser uma distribuição geométrica deslocada, redimensionada e / ou truncada. Se formar uma progressão hipergeométrica de grau (2,2), uma conclusão semelhante se aplica. Existem distribuições associadas a qualquer série que tenha um valor finito e, portanto, a distribuição hipergeométrica generaliza para muitas outras distribuições (usando diferentes funções racionais). A maioria deles não tem nomes. Uma exceção é a distribuição binomial negativa, cujo pmf é hipergeométrico de grau (1,1).

whuber

Obrigado! O pmf da distribuição de Poisson forma algumas séries / progressões especiais? Dada uma distribuição de Poission com o parâmetro de taxa

, então

. O pmf forma alguma série ou progressão especial?

λ

$\lambda$

p (k + 1) / p (k) = λ / (k + 1)

$p(k+1)/p(k) = \lambda/(k+1)$

21414 Tim Tim

Sim, essa é uma função racional de grau (0,1), por isso se encaixa na definição geral de uma progressão hipergeométrica.

whuber

$\sqrt{A B}$ . Classicamente, esse problema foi interpretado como encontrar o comprimento dos lados de um quadrado com área igual a um retângulo com lados de comprimento A e B, um problema geométrico.

veryshuai
fonte

Sua fonte recorre ao tipo de especulação a que eu estava me referindo (de maneira um tanto elíptica) no início da minha resposta. A internet está cheia de pessoas que fazem a mesma afirmação, mas como é igualmente fácil encontrar geometricamente uma média aritmética como uma média geométrica, no final, essa propriedade (de ter uma construção "geométrica") não parece explicar nada. Seria muito interessante encontrar uma autoridade que possa rastrear os usos históricos reais de "geométrico" e "aritmético" para nos ajudar a entender como esses termos realmente surgiram.

whuber

Por que a distribuição geométrica e a distribuição hipergeométrica são chamadas como tais?

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