Uma distribuição multivariada com uma matriz de covariância singular pode ter uma função de densidade?

Suponhamos uma distribuição multivariada através $\mathbb R^n$ tem uma matriz de covariância singular. Podemos concluir que ele não possui uma função de densidade?

Por exemplo, é o caso da distribuição normal multivariada, mas não tenho certeza se isso é verdade para todas as outras distribuições multivariadas.

Acho que essa é uma questão da existência do derivado de Radon-Nikodym na medida de Lebesgue em , mas a teoria elementar das probabilidades também pode ter a resposta.$\mathbb R^n$

Uma matriz de covariância singular significa que existe uma combinação linear das variáveis ​​aleatórias tais que e . Assim, toda a massa de probabilidade está em um hiperplano de definido por e, portanto, as variáveis ​​aleatórias não podem ter uma função de densidade variável.$Y = \sum_{i=1}^n a_i X_i$$n$$E[Y] = a_0$$\operatorname{var}(Y) = 0$$\mathbb R^n$$\sum_{i=1}^n a_i x_i = a_0$$n$$n$

Sim, mas haverá uma distribuição de probabilidade em um subespaço de menor dimensão. Você poderia argumentar que é uma distribuição de probabilidade em R ^ N se você permitir coisas como funções dirac delta. Essa é uma questão matemática sutil, mas os físicos, por exemplo, fazem isso o tempo todo.

Embora este é aludido acima, eu quero torná-lo mais claro que, embora ele não pode ter uma densidade significativa em pode definir a densidade em um Rank ( Σ subespaço) dimensional, onde Σ denota a matriz de covariância.$\mathbb{R}^{n}$$\Sigma$$\Sigma$