Seja uma distribuição uniforme e uma distribuição normal. O que pode ser dito sobre ? Existe uma distribuição para isso?Y X
Descobri que a proporção de dois normais com zero médio é Cauchy.
Seja uma distribuição uniforme e uma distribuição normal. O que pode ser dito sobre ? Existe uma distribuição para isso?Y X
Descobri que a proporção de dois normais com zero médio é Cauchy.
Respostas:
Seja a variável aleatória com pdf f ( x ) :X∼ Uniforme ( a , b ) f( X )
onde assumi (isso aninha o caso Uniforme ( 0 , 1 ) padrão ). [Resultados diferentes serão obtidos se o parâmetro a for < 0 , mas o procedimento for exatamente o mesmo. ]0 < a < b Uniforme ( 0 , 1 ) a < 0
Além disso, seja e seja W = 1 / Y com pdf g ( w ) :Y∼ N( μ , σ2) W= 1 / Y g( W )
Em seguida, buscamos o pdf do produto , digamos h ( v ) , que é dado por:V= X∗ W h ( v )
onde estou usando a função mathStatica
TransformProduct
para automatizar os ângulos e ondeErf
denota a função Erro: http://reference.wolfram.com/language/ref/Erf.htmlTudo feito.
Parcelas
Aqui estão duas parcelas do pdf:
Cheque Monte Carlo
Aqui está uma rápida verificação de Monte Carlo do caso Plot 2, apenas para garantir que nenhum erro ocorra:μ=12 σ=1 a=0 b=1
,σ=1,a=0,b=1
A linha azul é o pdf empírico de Monte Carlo, e a linha tracejada vermelha é o pdf teórico acima. Parece bem :)h(v)
fonte
A integral acima pode ser avaliada usando a seguinte sequência de transformações:
Esta resposta pode ser verificada por simulação. O script a seguir em R executa esta tarefa.
Aqui estão alguns gráficos para verificação:
fonte
set.seed(1);x=rbeta(10000000,1,1)/rnorm(10000000,7);hist(x,n=length(x)/50000)
runif
fonte
runif
? Parece mais idiomático e também parece ser mais rápido)hist(x,n=length(x),xlim=c(-10,10))
) (cerca de 96% da distribuição parece estar dentro desses limites)