Qual é a proporção de distribuição uniforme e normal?

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Seja uma distribuição uniforme e uma distribuição normal. O que pode ser dito sobre ? Existe uma distribuição para isso?Y XXYXY

Descobri que a proporção de dois normais com zero médio é Cauchy.

rrpp
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Pelo que vale, a distribuição de é chamada de distribuição de barra . Não sei se o recíproco tem um nome ou um formulário fechado. Y/X
David J. Harris
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E a classe maior à qual ambos pertencem parece ser distribuições de proporção !
Nick Stauner
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@ DavidJ.Harris Bastante; +1. Eu já vi a barra usada algumas vezes em estudos de robustez. Talvez - como uma barra invertida - deva ser chamada de " distribuição de barra invertida ". X/Y
Glen_b -Reinstala Monica 27/03
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@rrpp Você está se referindo a um padrão ou geral ? Se o último, então precisamos saber se , etc. #L n i f o r m ( um , b ) um > 0 um < 0Uniform(0,1)Uniform(a,b)a>0a<0
wolfies
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Obrigado a todos por suas respostas. @wolfies é e tem média positivaL n i f o r m ( 0 , 1 ) YXUniform(0,1)Y
rrpp 27/03

Respostas:

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Seja a variável aleatória com pdf f ( x ) :XUniform(a,b)f(x)

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onde assumi (isso aninha o caso Uniforme ( 0 , 1 ) padrão ). [Resultados diferentes serão obtidos se o parâmetro a for < 0 , mas o procedimento for exatamente o mesmo. ]0<a<bUniform(0,1)a<0

Além disso, seja e seja W = 1 / Y com pdf g ( w ) :YN(μ,σ2)W=1/Yg(w)

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Em seguida, buscamos o pdf do produto , digamos h ( v ) , que é dado por:V=XWh(v)

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onde estou usando a função mathStaticaTransformProduct para automatizar os ângulos e onde Erfdenota a função Erro: http://reference.wolfram.com/language/ref/Erf.html

Tudo feito.

Parcelas

Aqui estão duas parcelas do pdf:

  • Gráfico 1: , σ = 1 , b = 3 ... e ... a = 0 , 1 , 2μ=0σ=1b=3a=0,1,2

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  • Gráfico 2: ,σ=1,a=0,b=1μ=0,12,1σ=1a=0b=1

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Cheque Monte Carlo

Aqui está uma rápida verificação de Monte Carlo do caso Plot 2, apenas para garantir que nenhum erro ocorra:
,σ=1,a=0,b=1μ=12σ=1a=0b=1

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A linha azul é o pdf empírico de Monte Carlo, e a linha tracejada vermelha é o pdf teórico acima. Parece bem :)h(v)

wolfies
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Z=XYXU[0,1]YN(μ,σ2)Z

FZ(z)=P(Zz)=P(XYz)

Y>0Y<0Y>0XYzXzYY<0XYzXzY

<Z<z>0z<0

z>0(X,Y)

Região de Integração

FZ(z)=01x/zfY(y)dydx+010fY(y)dydx
fY(y)Y

Z

fZ(z)=ddz01[FY()FY(xz)]dx=01z[FY()FY(xz)]dx=01xz2fY(xz)dx=01x2πσz2exp((xzμ)22σ2)dx

A integral acima pode ser avaliada usando a seguinte sequência de transformações:

  1. u=xz
  2. v=uμ
  3. vv

fZ(z)=σ2π[exp(μ22σ2)exp((1zμ)22σ2)]+μ[Φ(1zμσ)Φ(μσ)]

Φ(x)z<0

Esta resposta pode ser verificada por simulação. O script a seguir em R executa esta tarefa.

n <- 1e7
mu <- 2
sigma <- 4

X <- runif(n)
Y <- rnorm(n, mean=mu, sd=sigma)

Z <- X/Y
# Constrain range of Z to allow better visualization 
Z <- Z[Z>-10]
Z <- Z[Z<10] 

# The actual density 
hist(Z, breaks=1000, xlim=c(-10,10), prob=TRUE)

# The theoretical density
r <- seq(from=-10, to=10, by=0.01)
p <- sigma/sqrt(2*pi)*( exp( -mu^2/(2*sigma^2)) - exp(-(1/r-mu)^2/(2*sigma^2)) ) + mu*( pnorm((1/r-mu)/sigma) - pnorm(-mu/sigma) )

lines(r,p, col="red")

Aqui estão alguns gráficos para verificação:

  1. YN(0,1) Verificação 1
  2. YN(1,1) Verificação 2
  3. yN(1,2) Verificação 3

z=0

Comp_Warrior
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+1 Muito bom! Uma derivação dos princípios básicos é sempre satisfatória e os gráficos ajudam o leitor a apreender instantaneamente o que você está fazendo.
whuber
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YY=N(7,1)min(Y)>1N1MY<1XYY<0set.seed(1);x=rbeta(10000000,1,1)/rnorm(10000000,7);hist(x,n=length(x)/50000)
runif

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Nick Stauner
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as caudas extremas estão destruindo a densidade. A distribuição é como um Cauchy. (Por curiosidade, por que não usar runif? Parece mais idiomático e também parece ser mais rápido)
Glen_b -Reinstata Monica 27/03
Porque eu ainda não sei muito sobre R, aparentemente! :) Obrigado pela dica!
Nick Stauner
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não se preocupe. A diferença de velocidade não é tão grande, mas com 10 ^ 7 elementos, o suficiente para notar. Você pode encontrar um valor de histograma olhando ( hist(x,n=length(x),xlim=c(-10,10))) (cerca de 96% da distribuição parece estar dentro desses limites)
Glen_b -Reinstate Monica
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Uau! Com certeza. Isso torna essas parcelas de densidade bastante enganosas! Vou editar em que histograma ...
Nick Stauner
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Ah, tudo bem. Não se preocupe. Você pode tornar a nclass muito menor nesse caso. Eu acho que idealmente as barras devem ser muito estreitas, mas não apenas linhas pretas.
Glen_b -Reinstala Monica 27/03