Suponha a seguinte configuração:
Seja . Também . Além disso, ie é uma combinação convexa dos limites dos respectivos suportes. é comum para todos .
Eu acho que tenho a distribuição de correta: é uma distribuição mista .
Possui uma parte contínua,
e, em seguida, uma descontinuidade e uma parte discreta em que massa concentrada de probabilidade:X i ∈ [ a i , k i ) , Z i = X i ⇒ Pr ( Z i ≤ z i ) = z i - a i
Assim, em todos os
enquanto para a função de massa / densidade "discreta / contínua" mista, é fora do intervalo , possui uma parte contínua que é a densidade de um uniforme , mas para , e concentra a massa de probabilidade positiva em . ai≤zi<kic>0zi=ki
Ao todo, isso resume a unidade sobre os reais.
Eu gostaria de poder derivar ou dizer algo sobre a distribuição e / ou momentos da variável aleatória , como . n → ∞
Digamos, se os são independentes, parece como . Posso "ignorar" essa parte, mesmo como uma aproximação? Então eu ficaria com uma variável aleatória que varia no intervalo , parecendo a soma de uniformes censurados, a caminho de se tornar "não censurado" e, portanto, talvez algum teorema central do limite ... mas provavelmente estou divergindo em vez de convergir aqui, então, alguma sugestão? Pr ( S n = Σ n i k i ) = c n → 0 n → ∞ [ Σ n i = 1 um i ,
PS: Esta questão é relevante, Derivando a distribuição da soma das variáveis censuradas , mas a resposta de @Glen_b não é o que eu preciso - eu tenho que trabalhar isso analiticamente, mesmo usando aproximações. Esta é uma pesquisa, portanto, trate-a como lição de casa - sugestões gerais ou referências à literatura são boas o suficiente.
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Respostas:
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Dicas:
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Minha principal preocupação nesta pergunta era se alguém poderia aplicar o CLT "como de costume" no caso que estou examinando. O usuário @Henry afirmou que é possível, o usuário @Zen mostrou através de uma simulação. Assim encorajado, agora vou provar analiticamente.
Portanto, temos um MGF adequado. Se considerarmos a expansão de Taylor de segunda ordem em torno de zero, teremos
Isso implica que a função característica é (aqui denota a unidade imaginária) .i
Pelas propriedades da função característica , temos que a função característica de é igual aZ~/n−−√
e como temos variáveis aleatórias independentes, a função característica de é1n√∑niZ~i
Então
pela forma como o número é representadoe . Acontece que o último termo é a função característica da distribuição normal padrão e, pelo teorema da continuidade de Levy , temos que
qual é o CLT. Observe que o fato de as variáveis - não serem distribuídas de maneira idêntica "desapareceu" de vista quando consideramos suas versões centralizadas e escalonadas e consideramos a expansão de Taylor de segunda ordem de seus MGF / CHF: nesse nível de aproximação, essas funções são idênticas e todas as diferenças são compactadas nos termos restantes que desaparecem assintoticamente.Z
O fato de que o comportamento idiossincrático no nível individual, de todos os elementos individuais, desaparece quando consideramos o comportamento médio, acredito que seja muito bem exibido usando uma criatura desagradável como uma variável aleatória com distribuição mista.
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