Quais são as desvantagens da probabilidade de perfil?

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Considere um vetor de parâmetros , com θ 1 o parâmetro de interesse e θ 2 um parâmetro incômodo.(θ1,θ2)θ1θ2

Se é a probabilidade construída a partir dos dados x , a probabilidade de perfil para θ 1 é definido como G P ( θ 1 ; x ) = G ( θ 1 , θ 2 ( θ 1 ) ; x ) onde θ 2 ( θ 1 ) é o de MLE θ doiseu(θ1,θ2;x)xθ1euP(θ1;x)=eu(θ1,θ^2(θ1);x)θ^2(θ1)θ2para um valor fixo de .θ1

Maximizando a probabilidade perfil com respeito a q 1 leva a mesma estimativa q 1 como a obtida através da maximização da probabilidade simultaneamente no que diz respeito a q 1 e q 2 .θ1θ^1θ1θ2

Penso que o desvio padrão de θ 1 pode também ser calculada a partir da segunda derivada do perfil de risco.θ^1

A estatística de probabilidade para H 0 : θ 1 = θ 0 podem ser escritas em termos de perfil de probabilidade: G R = 2 log ( L P ( θ 1 ; x )H0 0:θ1=θ0 0.euR=2registro(euP(θ^1;x)euP(θ0 0;x))

Portanto, parece que a probabilidade do perfil pode ser usada exatamente como se fosse uma probabilidade genuína. É realmente esse o caso? Quais são as principais desvantagens dessa abordagem? E o 'boato' de que o estimador obtido a partir da probabilidade do perfil é enviesado (editar: mesmo que assintoticamente)?

ocram
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apenas uma observação, os estimadores da probabilidade também podem ser tendenciosos, o exemplo clássico é a estimativa da variação da probabilidade para a amostra normal.
precisa saber é o seguinte
@mpiktas: Obrigado pelo seu comentário. De fato, a mle clássica também pode ser tendenciosa. Vou editar a pergunta para tornar as coisas mais claras.
Ocram
qual é o viés assintótico? Você está falando sobre estimadores não consistentes?
precisa saber é o seguinte
@mpiktas: Sim, isso é o que eu deveria ter dito ...
Ocram

Respostas:

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A estimativa de partir da probabilidade do perfil é apenas o MLE. Maximizar em relação a θ 2 para cada θ 1 possível e depois maximizar em relação a θ 1 é o mesmo que maximizar em relação a ( θ 1 , θ 2 ) em conjunto.θ1θ2θ1θ1(θ1,θ2)

A fraqueza fundamental é que, se você basear sua estimativa do SE de θ 1 sobre a curvatura da probabilidade perfil, você não são totalmente representando a incerteza em θ 2 .θ^1θ2

McCullagh e Nelder, Generalized linear models, 2ª edição , têm uma seção curta sobre a probabilidade de perfil (Seção 7.2.4, páginas 254-255). Eles dizem:

[A] conjuntos aproximados de confiança podem ser obtidos da maneira usual ... tais intervalos de confiança costumam ser satisfatórios se [a dimensão de ] for pequena em relação à informação total de Fisher, mas pode ser enganosa caso contrário. Infelizmente, [a probabilidade do log de perfil] não é uma função de probabilidade do log no sentido usual. Obviamente, sua derivada não possui média zero, uma propriedade essencial para estimar equações.θ2

Karl
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EeuP(θ1)θ10 0
Pergunta interessante, embora exigisse uma visita à estante de livros (o que eu deveria ter feito de qualquer maneira). Eu adicionei um pouco à minha resposta sobre esse ponto.
22411 Karl
Muito obrigado pela edição. Diz-se que a propriedade (a pontuação avaliada no valor verdadeiro do parâmetro tem média zero) é essencial para estimar as equações. Mas, embora a probabilidade do log de perfil não preencha essa propriedade, ela produz o MLE. Há algo que eu sinto falta?
Ocram 23/08/11
Essa propriedade não é necessária para fornecer o MLE.
23411 Karl