Quantas posições existem? (quebra-cabeça xadrez / matemática)

Estou interessado neste tipo de posição:

Existem apenas 4 peças no tabuleiro. Se os brancos forem os primeiros, eles podem fazer xeque-mate de uma só vez. Se os negros forem os primeiros, eles podem fazer xeque-mate de uma só vez. Por exemplo:

A questão é: quantas posições existem?

Encontro 3 posições principais:

Cada um deles nos dá mais 6 posições. Podemos mover a posição inicial da rainha negra para outros 6 quadrados. Portanto, temos 21 posições básicas.

Existem outras posições básicas?

Para cada posição básica, podemos:

1) mudar de cor x2

2) gire a placa x4

3) posição do espelho x2

Portanto, uma posição básica gera 2x4x2 = 16 posições. E a resposta final é: Existem 16x21 = 336 posições.

Isto está certo?

Sua segunda posição básica permite mais 4 variantes além daquelas que você já forneceu, indicadas pelo diagrama a seguir:

Isso eleva o número de "posições básicas" para 25. Se essa adição torna a lista exaustiva ou não, não tenho certeza absoluta (embora eu ache que sim).

Em qualquer caso, seja qual for o número de posições básicas, sua extrapolação do número total de posições a partir daí (x2 para a troca de cores e x8 para transformações do tabuleiro) está correta, uma vez que o grupo de simetria do tabuleiro de xadrez realmente tem ordem 8 , como confirmado na p.334 deste capítulo do Handbook of Constraint Programming , por exemplo. (Porém, é preciso ter cuidado com a contagem excessiva aqui; veja abaixo.) Então, no momento, eu conjeturaria que a resposta é 25 x 16 = 400.

Estou adicionando essa digressão matemática porque vejo no seu perfil que você está interessado em prosseguir com um estudo mais aprofundado de matemática. Talvez eu não esteja dizendo nada aqui que você ainda não tenha conhecimento, mas aqui vai mesmo assim.

Observe que existem algumas posições de xadrez que sairão idênticas sob diferentes simetrias do tabuleiro. Por exemplo, considere o ato de refletir na diagonal a1-h8. Essa simetria do conselho geralmente muda uma determinada posição, por exemplo

torna-se

Mas é claro que algumas posições (ou seja, aquelas que têm apenas peças na diagonal a1-h8) não mudam sob essa simetria, por exemplo, a posição

permanece inalterado quando refletimos nessa diagonal.

Devido a esse tipo de comportamento, geralmente é preciso ter cuidado para não contar esse tipo de problema de contagem. Para o seu problema, isso significa ter certeza de que nenhuma de suas posições básicas se repete sob nenhuma das simetrias (não identitárias), de modo que nosso "x 16" ao obter o número total de posições do número de posições básicas não seja supercontagem. No presente caso, suas posições básicas são complicadas / assimétricas o suficiente para que fique intuitivamente claro que nenhuma delas será repetida sob essas simetrias, portanto não há com o que se preocupar, mas na matemática é frequentemente quando as coisas são "intuitivamente claras" que é preciso estar mais preocupado com erros. (De fato, há um ditado que diz que se você deseja encontrar erros em uma prova matemática, comece com qualquer lugar que diga: "Está claro que ...")