Começando com /\você pode criar um triângulo de Sierpinski como padrão, adicionando uma linha abaixo de tal forma que ...

1. Qualquer ramo solta /ou \se divide novamente em dois ramos: /\.
2. Qualquer colisão de galhos \/morre sem nada (além de espaços).

Repetir essas regras gera

     /\
    /\/\
   /\  /\
  /\/\/\/\
 /\      /\
/\/\    /\/\
etc...

( Inspiração de ViHart )

Escreva um programa ou função que receba um número inteiro positivo N e imprima as primeiras N linhas desse padrão em stdout, sem mais espaços iniciais ou finais do que o necessário.

Por exemplo, se a entrada for 1a saída deve ser

/\

Se a entrada for 2a saída deve ser

 /\
/\/\

Se a entrada for 8a saída deve ser

       /\
      /\/\
     /\  /\
    /\/\/\/\
   /\      /\
  /\/\    /\/\
 /\  /\  /\  /\
/\/\/\/\/\/\/\/\

E assim por diante.

O código com o menor número de bytes vence.

GolfScript (42 bytes)

~,-1%1\{' '*\.2base{'  /\\'2/=}%[email protected]*^}/;;

Demonstração online

Isso explora uma relação bem conhecida entre o triângulo de Pascal e o triângulo de Sierpinski.

CJam, 48 46 bytes

li(_S*"/\\":T+\{_N@S+TW%/S2**" /"/"\ "f/:+T*}*

Abordagem recursiva simples baseada nas observações 1 e 2 da pergunta.

Experimente online.

Como funciona

li(         " L := int(input()) - 1            ";
_S*         " A := L * ' '                     ";
"/\\":T+    " A += (T := '/\')                 ";
\{          " do L times:                      ";
  _N        "   push A, '\n'                   ";
  @S+       "   A += ' '                       ";
  TW%/      "   B := A.split(reverse(T))       ";
  S2**      "   A := '  '.join(B)              ";
  " /"/     "   B := A.split(' /')             ";
  "\ "f/    "   C := { X.split('\ ') : X ∊ B } ";
  :+T*      "   A := T.join(sum(C, []))        ";
}*          "                                  ";

CJam, 51 bytes

li__2mL,1a\{2_@##)1$f*+}/<f{2b_"  /\\"2/f=@@,-S*\N}

Gosto mais dessa abordagem, mas ela não pode competir com a recursiva. Mesmo depois de eliminar 2mL(o que resulta em pelo menos O (2 ⁿ ) tempo de execução), ainda estou com 48 bytes ...

Essa abordagem codifica /\como 1 e espaços duplos entre eles como 0. Considerando os números binários das matrizes resultantes, vemos que a configuração da enésima linha corresponde ao enésimo enésimo número maior que 1 que pode ser expresso como um produto de diferentes números Fermat (números inteiros no formato 2 ^{2 k} +1 ).

Como funciona

li__2mL,1a         " push L := int(input()), L, R := range(log(L)/log(2)), A := [1] ";
\{2_@##)1$f*+}/    " for I in R: A += { a × 2**(2**I) : a ∊ A }                     ";
<                  " A := A[:L]                                                     ";
f{                 " for I in R: push L, I                                          ";
  2b_"  /\\"2/     "   push (B := base(I, 2)), B, S := [ '  ' '/\' ]                ";
  f=               "   for J in I: J := S[J]                                        ";
  @@,-S*\N         "   push (L - len(B)) * ' ', J, '\n'                             ";
}                  "                                                                ";

Python 2 - 140 139 127 122 121 118 116

N=input()
b,V,m,n=' V/\\'
s=b*~-N+m+n
R=str.replace
while N:print s;N-=1;s=R(R(R(R(s+b,b+m,V),n+b,V),n+m,b+b),V,m+n)

Com base em substituições temporárias de cadeias ( /programming//a/8687380/3419103 ):

1. / > V
2. \ > V
3. \/> __(2 espaços)
4. V > /\

Javascript - 117 bytes

Minificado:

T=n=>{S=' '.repeat(n-1);a='/\\';for(t=s=S+a+S;--n;t+='\n'+s)s=s.replace(/\\\//g,'  ').replace(/ \/|\\ /g,a);return t}

Expandido:

T = n => {
    S = ' '.repeat( n-1 );
    a = '/\\';
    for( t = s = S + a + S; --n; t += '\n' + s )
        s = s.replace( /\\\//g, '  ' ).replace( / \/|\\ /g, a );

    return t;
}

Saída de amostra (para n = 20):

                   /\                   
                  /\/\                  
                 /\  /\                 
                /\/\/\/\                
               /\      /\               
              /\/\    /\/\              
             /\  /\  /\  /\             
            /\/\/\/\/\/\/\/\            
           /\              /\           
          /\/\            /\/\          
         /\  /\          /\  /\         
        /\/\/\/\        /\/\/\/\        
       /\      /\      /\      /\       
      /\/\    /\/\    /\/\    /\/\      
     /\  /\  /\  /\  /\  /\  /\  /\     
    /\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\    
   /\                              /\   
  /\/\                            /\/\  
 /\  /\                          /\  /\ 
/\/\/\/\                        /\/\/\/\

Agora, se apenas os nomes das funções repeate replacenão fossem tão longos. : P

Pitão, 45 bytes

K"/\\"Jt+*QdKVQpbJ=JjKsmcd"\ "cj*2dc+Jd_K" /"

Exemplo de execução

$ pyth -c 'K"/\\"Jt+*QdKVQpbJ=JjKsmcd"\ "cj*2dc+Jd_K" /"' <<< 16
               /\
              /\/\
             /\  /\
            /\/\/\/\
           /\      /\
          /\/\    /\/\
         /\  /\  /\  /\
        /\/\/\/\/\/\/\/\
       /\              /\
      /\/\            /\/\
     /\  /\          /\  /\
    /\/\/\/\        /\/\/\/\
   /\      /\      /\      /\
  /\/\    /\/\    /\/\    /\/\
 /\  /\  /\  /\  /\  /\  /\  /\
/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\

Como funciona

                            # Q = eval(input())
K"/\\"                      # K = "/\\"
      Jt+*QdK               # J = (Q * " " + K)[1:]
             VQ             # for N in range(Q):
               pbJ          #     print(J, end="\n")
                            #
=JjK                        #     J = K.join(
    sm                      #         sum(list(map(lambda d:
      cd"\ "                #             d.split("\ "),
            c               #                                                .split(    )
             j*2d           #              " ".join(                        )
                 c   _K     #                                .split(K[::-1])
                  +Jd       #                       (J + " ")
                       " /" #                                                       " /"
                            #     ))))

Ruby, 90

f=->n{a=["/\\".center(2*n)]
2.upto(n){a<<a[-1].gsub("\\/","  ").gsub(/ \/|\\ /,"/\\")}
puts a}

Explicação

• A entrada é tomada como argumento para uma lambda. Espera-se que seja um Integer.
• Use String#centerpara criar a String "/\"com n - 2espaços de cada lado e coloque-o em Array( a).
• Adicione ao aúltimo elemento de atodas as ocorrências de "\/"substituídas por " "e todas as ocorrências de " /"ou " \"substituídas por "/\".
• Use putspara imprimir cada elemento em asua própria linha.

Haskell, 128 112

g n=unlines$take n$i t([1..n]>>" ")%(i(\l->l++l%i(t.t)(t l>>"  ")%l)["/\\"]!!n)
t=tail
(%)=zipWith(++)
i=iterate

JavaScript (E6) 107106

Editar: contagem de bytes fixa, tornada recursiva.

Não é muito diferente da outra resposta JS ... pelo menos essa 'imprime' o padrão conforme solicitado. O núcleo está substituindo '/' '\' por '/ \' e todo o resto por '' em cada nova linha.

F=(n,o=t='/\\',b=' ')=>
  n--&&
    console.log(b.repeat(n)+o)|
    F(n,(b+o+b).replace(/../g,s=>s==b+b|s=='\\/'?b+b:t))

Teste no console do FireFox / FireBug

F(15)

Resultado

                  /\
                 /\/\
                /\  /\
               /\/\/\/\
              /\      /\
             /\/\    /\/\
            /\  /\  /\  /\
           /\/\/\/\/\/\/\/\
          /\              /\
         /\/\            /\/\
        /\  /\          /\  /\
       /\/\/\/\        /\/\/\/\
      /\      /\      /\      /\
     /\/\    /\/\    /\/\    /\/\
    /\  /\  /\  /\  /\  /\  /\  /\

Perl 5 - 56 bytes

\ 0's podem ser substituídos por caracteres reais de bytes nulos

#!/usr/bin/perl -l
$p="/\\";$_=$"x~$_.$p,y/\0/ /,print,$p^="\0\0$p"for-<>..-1

Está usando o fato de que, se você ignorar espaços à esquerda e representar '/ \' como 1 e '' como 0, o padrão em uma determinada linha f (n) = f (n-1) ^ (f (n-1) < <1) No entanto, os cálculos no código acima são executados em cadeias próximas à saída esperada (sem espaços à esquerda, outros espaços substituídos por bytes nulos), graças à manipulação de cadeia de bits em bits do perl.

$p="/\\";          # initialize
  $_=$"x~$_.$p,    # loop start, add spaces
  y/\0/ /,         # replace nulls with spaces
  print,           # output
  $p^="\0\0$p"     # calculate next string
for-<>..-1         # loop from -n to -1

Python 2, 84 bytes

n=i=input()
while i:print' '*i+''.join("/ \ "[j&i+1>0::2]for j in range(n-i+1));i-=1

Javascript com lambdas, 141 128

141

f=n=>{for(a="25",q=0;++q<n;a=a[r='replace'](/^|$/mg,1)[r](/(.*)$/,"$1\n$1")[r](/..(?=.*$)/g,x=>x%3?11:25));return a[r](/./g,x=>"  /  \\"[x])}

128

f=n=>(t=a=>--n?t(a[r='replace'](/^|$/mg,1)[r](/(.*)$/,"$1\n$1")[r](/..(?=.*$)/g,x=>x%3?11:25)):a)("25")[r](/./g,x=>"  /  \\"[x])

Pode ser testado no Firefox (n = 16):

               /\               
              /\/\              
             /\  /\             
            /\/\/\/\            
           /\      /\           
          /\/\    /\/\          
         /\  /\  /\  /\         
        /\/\/\/\/\/\/\/\        
       /\              /\       
      /\/\            /\/\      
     /\  /\          /\  /\     
    /\/\/\/\        /\/\/\/\    
   /\      /\      /\      /\   
  /\/\    /\/\    /\/\    /\/\  
 /\  /\  /\  /\  /\  /\  /\  /\ 
/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\

Python 2, 97 bytes

i=input()
x=1
while i:i-=1;print " "*i+bin(x)[2:].replace("0","  ").replace("1", "/\\");x^=2*x

Mathematica, 86 bytes

Column[Row/@Mod[Table[Binomial[n,k],{n,0,#-1},{k,0,n}],2]/.{1->"/\\",0->"  "},Center]&