Como funciona uma transformação de Fourier 2D de uma imagem?

Entendo como uma transformação 1D Fourier separa um sinal em suas frequências componentes, mas estou tendo dificuldade em entender como uma transformação 2D Fourier afeta uma imagem 2D.

De outra pergunta , John Calsbeek vinculou a um artigo interessante sobre como medir a qualidade das funções de ruído . Isso mostrou várias funções de ruído e a transformada de Fourier de cada uma.

É uma transformação discreta dos dados de pixel ou uma transformação contínua da função de interpolação contínua usada para gerar o ruído em pontos arbitrários?

A forma anular é análoga a transformar 1D Fourier da linha através do centro da imagem em todos os ângulos possíveis? Ou a transformação para cada ângulo possível também é medida em todo o espaço 2D, em vez de apenas ao longo de uma linha no centro? Estou tentando ter uma idéia intuitiva de quais alterações na imagem de entrada correspondem a quais alterações na transformação de Fourier.

Uma transformação 2D de Fourier é executada executando primeiro uma transformação de 1D Fourier em cada linha da imagem, depois obtendo o resultado e fazendo uma transformação de 1D Fourier em cada coluna. Ou vice-versa; Não importa.

Assim como uma transformação 1D Fourier permite decompor uma função em uma soma de (1D) ondas senoidais em várias frequências, uma transformação 2D Fourier decompõe uma função como uma soma de ondas senoidais 2D. Essas ondas podem ter diferentes frequências ao longo dos eixos x e y. Eles genericamente têm a forma:

onde e são as frequências ao longo dos eixos e . Esses dois valores formam um vetor chamado vetor de onda. No domínio espacial, a onda é orientada ao longo do com uma frequência ao longo do seu eixo de .$k_x$$k_y$$x$$y$$(k_x, k_y)$$\sqrt{k_x^2 + k_y^2}$

Assim como na transformação 1D Fourier, existem versões discreta e contínua. O resultado de uma transformada de Fourier 2D discreta é uma matriz de amplitudes complexas para um conjunto de valores discretos . Isso geralmente é visualizado (como no artigo ao qual você vinculou) como uma imagem em que o pixel nas coordenadas representa a amplitude desse vetor de onda.$(k_x, k_y)$$(k_x, k_y)$

Assim, uma forma anular em uma transformada 2D de Fourier indica invariância rotacional da distribuição de frequências (ou seja, a mesma amplitude de ondas em todas as direções), com uma faixa estreita de magnitudes (do interior do anular para o exterior). Em outras palavras, o artigo está usando a transformada de Fourier para demonstrar que seu ruído é razoavelmente isotrópico e limitado por banda.