Estou aprendendo sobre os BRDFs e me perguntando por que o BRDF é definido como a razão entre o brilho de saída para uma determinada direção e a irradiância de entrada de outra direção. Por que o BRDF não é definido como razão de radiações?
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Respostas:
Existem duas maneiras de responder a essa pergunta: uma maneira algébrica e uma maneira geométrica.
Algebricamente, podemos identificar as unidades que o BRDF deve ter, observando seu lugar na equação de renderização. A equação de renderização clássica é:
O valor de saída à esquerda é um brilho, portanto o resultado da integral também deve ser um brilho. O integrando contém uma irradiação multiplicada por um ângulo sólido , portanto, algo mais no integrando deve cancelar esse fator de ângulo sólido. O fator n ⋅ ω ′ é adimensional e a única outra coisa que existe no BRDF - portanto, para que tudo funcione, o BRDF deve ter unidades de ângulo sólido inverso. Equivalentemente, o BRDF pode ser visto como uma razão de radiação para irradiância, uma vez que diferem por um fator de ângulo sólido no denominador de radiação.dω′ n ⋅ ω′
Outra maneira de ver isso é que o BRDF desempenha um papel semelhante a uma densidade de probabilidade. Se você observar como as densidades de probabilidade funcionam, elas têm unidades inversas ao volume de seu domínio. Por exemplo, uma densidade de probabilidade 1D possui unidades de comprimento inverso (probabilidade por unidade de comprimento, mas a probabilidade em si é adimensional), uma 2D possui unidades de área inversa e assim por diante. O BRDF age como uma densidade de probabilidade definida no hemisfério, dando uma probabilidade de um fóton vindo de uma determinada direção ser refletido em outra direção. Assim, como qualquer outra densidade de probabilidade em um domínio esférico, ele possui unidades de ângulo sólido inverso.
Geometricamente, podemos ir direto ao ponto e separar o que está acontecendo na integral da equação de renderização. Lembre-se de que uma integral significa subdividir o domínio em pequenos pedaços e somar o integrando sobre todos os pedaços (no limite, à medida que os pedaços se tornam infinitesimalmente pequenos). Vejamos uma dessas peças. O integrando deve resultar em uma quantidade infinitesimal de brilho , já que vamos somar muitas peças para chegar a um brilho finito de saída. Portanto, uma única parte infinitesimal da integral se parece com:deu
ou
Assim, o BRDF atua como uma constante de proporcionalidade entre a irradiância infinitesimal que chega à superfície a partir de um ângulo sólido infinitesimal e a irradiação de saída infinitesimal gerada por ele. Não poderia ser uma proporção de radiações, porque temos uma radiação finita de entrada e precisamos de uma radiação infinitesimal de saída se quisermos resumir muitas partes da integral e obter um resultado finito. Para fazer isso acontecer, o BRDF teria que ter um valor infinitesimal, o que ... não é uma coisa, na matemática padrão. :)
Espero que isso ajude. Há uma variedade de maneiras equivalentes de analisar esse problema, como ocorre com muitas coisas em matemática e física.
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